НЕСТАНДАРТНІ БАЗИ В ГІЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРІ » ДНН.су Дослідження Нової Науки - наукові роботи, дисертації, монографії, статті, реферати та автореферати українською мовою

Навігація

Друзья

Пошук

НЕСТАНДАРТНІ БАЗИ В ГІЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРІ

2 серпня 2009

Увага! У вас немає прав для перегляду схованого тексту.

Львівський національний університет імені Івана Франка
Карабин Оксана Олександрівна
УДК 517.518.34
НЕСТАНДАРТНІ БАЗИ В ГІЛЬБЕРТОВОМУ

ПРОСТОРІ
(01.01.01 математичний аналіз)

Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико математичних наук

Львів 2000

Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Львівському національному університеті
імені Івана Франка на кафедрі математичного і функціонального аналізу.

Науковий керівник:
доктор фізико математичних наук,професор
Лянце Владислав Елійович,
професор кафедри математичного і функціонального аналізу
Львівського національного університету імені Івана Франка.
Офіційні опоненти:
доктор фізико математичних наук
Горбачук Валентина Іванівна
провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь
в частинних похідних Інституту математики НАН України
доктор фізико математичних наук, старший науковий співробітник
Боднар Дмитро Ількович,
професор кафедри прикладної математики Державного університету
"Львівська політехніка".
Провідна установа Інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна
відділ математичної фізики

Захист відбудеться 28 вересня 2000 р. о 15.20 год.
на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському
національному університеті імені Івана Франка за адресою:
79000, м. Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного
університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розіслано 16 серпня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Я.В. Микитюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми.
З часів відкриття Рене Декартом методу координат поняття бази (координатного репера) стало однією з фундаментальних концепцій геометрії, алгебри, аналізу. Воно лежить в основіалгебри і лінійного функціональногоаналізу. Перелік прізвищ видатних учених, які займались цими дослўдженнями(Ю.Шаудер, С.Банах, Н.Барі, І.Гельфанд, М.Крейн, М.Фаге та ін.) свідчить про велику вагу теорії баз, зокрема,уфункціональних просторах.
З виникненням нестандартного аналізу (друга половина ХХ сторіччя) в теорії баз виникли нові проблеми, дослідження яких є природньою необхідністю. До таких проблем належить, наприклад,визначення еквівалентності баз в нестандартному універсумі, визначення колостандартності бази та її тіні,отримання ознак колостан дартності і тіні вектора в термінах його координат щодо нестандартної бази, а такожйого тіні. При цьому важливо було включити в коло досліджень необмежені оператори, а також бази з підпросторів
Саме відповідям на ці та деякі інші природні запитання, наприклад вивченню взаїмозв'язків між базами різних типів, зокрема, баз Рісса, Барі, присвячена ця робота.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з науково дослідницькими роботами кафедри математичного і функці онального аналізу Львівського національного університетуім. І.Франка "Деякі проблеми теорії несамоспряжених операторів та нестандартний аналіз" (шифр МА 400 Д) та"Властивості операторів у гільбертових просторах " (шифр МА 378Б).
Мета і задачі дослідження:
Метою дисертації є дослідження нестандартних аспектів теорії баз. Зокрема:
- ввести природнє поняття колостандартності для бази і оперуючи ним, знайти формулу тіні і критерій сильноїколостандартності вектора в гільбертовому просторі з колостан дартною векторною базою;
- осмислити з точки зору нестандартного аналізу відомі результати М.Г.Крейна, що стосуються баз, квадратичноблизьких до ортонормованої;
- дослідити поведінку бази Рісса при нескінчено малому збуренні;
- дослідити діагональні оператори, власними векторами яких є елементи колостандарт ної бази Рісса.
- дослідити подібні питання для нестандартних баз з підпросторів.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше розглянуто елементи теорії баз в гільбертовому просторіз точки зору нестандартного аналізу. Досліджуються властивості нововведеного класу баз колостандартних баз Рісса,і в гільбертовому просторі з такою базою встановлено критерій сильної колостандартності вектора, а та кожзнайдено формулу тіні вектора і оператора. Отримані результати узагальнено на випадок баз з підпросторів, атакож застосовано при дослідженні нестандартних властивостей діагонального оператора. Нестандартний аналіз дав змогузамість поняття квадратично близьких баз, яке існує в класичній теорії, ввести поняття квадратично скінченно іквадратично нескінчено близьких баз і отримати доповнення до результатів М.Крейна, що стосуються необхідних ідостатніх умов, за якими послідовність векторів є базою гільбертового простору, квадратично близькою до йогоортонормованої бази.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичне значення. Одержанірезультати можуть знайти застосування в теорії операто рів в гільбертовому просторі, а також вдослідженнях, в яких застосовується нестандарт ний аналіз (математична фізика, стохастичний аналіз).
Особистий внесок здобувача. У праці [1] В.Е.Лянце належить попереднє формулюван ня очікуваних результатівдосліджень. Остаточне формулювання результатів та їх фак тична реалізація належить автору дисертації.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на Львівському міжвузівському семінарі зфункціонального аналізу (кер. проф. Лянце В.Е.), на Львів ському регіональному семінарі з математичного аналізу(кер. проф. Шеремета М.М.) на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики", присвя ченій 70 річчю Я.С.Підстригача (Львів, травень 24 26, 1998), на міжнародній науковій конференції, присвяченійЮ.П.Шаудеру (Львів, серпень 23 29, 1999).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в п'яти працях, з яких чотири надруковано у виданнях зпереліку, затвердженого ВАК України.
Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, роз битих на підрозділи,висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 114 сто рінок. Список використаних джерел займає 5 сторінок івключає 52 найменування.

ЗМІСТ РОБОТИ
Дисертаційна робота присвячена дослідженню властивостей нестандартних баз гіль бертовому просторі і складається ізвступу і трьох розділів.
У вступі обгрунтовано актуальність вибраної теми досліджень, визначена мета і задачі дослідження, а також поданокоротку анотацію нових наукових положень, викладених у дисертації.
У розділі 1 викладено огляд літератури зa темою, наведено основні поняття з теорії баз і твердження, яківикористовувались при дослідженні, викладено потрібні факти з нестандартного аналізу, а також подано короткийвиклад результатів дисертації.
Розділ 2 присвячено дослідженню нестандартних векторних баз в стандартному гільбертовому просторі. Вводиться наступна основа для класифікації баз:
Означення 2.1.1. Еквівалентні бази i в назвемо nst еквівалентними, якщо їх еквіваленція і рівномірноколостандартні оператори.
Для послідовності векторів в, які задовольняють умову: (2.2)визначається послідовність ( є стандартним продовженням зовнішньої послідовності, яка є тінню і вводитьсяозначення колостандартної бази.
Означення 2.1.2. База, для якої виконується умова (2.2) називається колостан дартною, якщо її тінь є базою іякщо i є nst еквівалентними з еквіваленцією такою, що.
Отримано наступні властивості колостандартних баз. Твердження 2.1.1. Нехай колостандартна база в, а база, біортого нальна до неї. Тоді база також єколостандартною.
Твердження 2.1.2. Нехай i є nst еквівалентними базами в. є колостан дартною тоді і тільки тоді, коли єколостандартною. Тінь еквіваленції баз i є еквіваленцією їх тіней:.
На основі цих властивостей колостандартних баз, отримано наступну теорему, яка задає формулу тіні вектора.
Теорема 2.1.1. Нехай колостандартна база в. Розглянемо довільний вектор, і поначимо через послідовністьйого координат в базі:
Припустимо, що (зазначимо, що такий вектор є колостандартним в слабкому сенсі). Тоді де стандартне продовження (зовнішньої) послідовності, а тінь бази.
Н.К. Барі ввела поняття бази, еквівалентної деякій ортонормованій базі гільбер тового простору (бази Рісса) івстановила ряд характеристичних властивостей баз, еквівалентних ортонормованій. (Бари Н.К. О базисах вгильбертовом пространстве // ДАН СССР. 1946. T.54. С.383 386.; Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовомпространстве // Учён. зап МГУ, серия матем., 1951 N 4. Bып.148. С.69 107.
В підрозділі 2.2. вводиться поняття колостандартної бази Рісса і наведено критерій того, коли база в гільбертовомупросторі є nst базою Рісса, а також критерій сильної колостандартності вектора.
Означення 2.2.1. База гільбертового простору називається nst базою Рісса, якщо вона є nst еквівалентною достандартної бази Рісса.
Твердження 2.2.1. (i). База в гільбертовому просторі є nst базою Рісса, якщо і тільки якщо, вона є коло стандартною і її тінь єбазою Рісса. (iі). База в гільбертовому просторі є nst базою Рісса, якщо і тільки якщо, вона є nst еквівалентною стандартнійортонормованій базі.
Теорема 2.2.1. Нехай є nst базою Рісса в, а біортогональна до неї база. Вектор такий, що є сильноколостандартний тоді і тільки тоді, коли для довільного нескінчено великого натурального де послідовність координат вектора:.
Властивість послідовності в гільбертовому просторі бути базою Рісса є стійкою в тому сенсі, що кожна послідовність"достатньо близька" до бази Рісса, є базою Рісса. Однією з теорем про стійкість є теорема Пелі Вінера.
Підрозділ 2.5. ілюструє застосування отриманих результатів в теорії операторів. Зокрема, розглядається операторвигляду:
(2.31)де i біортогональні бази гільбертового простору, а деяка послідовність комплексних чисел. Отриманотакі теореми.
Теорема 2.5.1. Припустимо, що власні вектори оператора вигляду (2.31) утворюють nst базу Рісса стандартногогільбертового простору. Такий оператор є сильно колостандартний тоді і тільки тоді, коли
Позначимо через стандартну послідовність в таку, що Оператор є рівномірно колостандартним тоді і тільки тоді, коли
Теорема 2.5.2. Припустимо, що власні вектори оператора вигляду (2.31) утворюють nst базу Рісса стандартногогільбертового простору. Оператор є s компактним тоді і тільки тоді, коли
(2.38) Якщо виконується умова (2.38), то тінь оператора є компактним оператором (у стандартному розумінні). В подальшій теоремі подано формулу тіні для оператора вигляду (2.31), коли деякі з є нескінчено великими. Теорема 2.5.3. Якщо для оператора вигляду (2.31) виконується умова:, то такий оператор є графколостандартним, його тінь є замкненим відображенням із в таким, що
збіжний (2.41) де стандартне продовження послідовності, а, тіні відповідно баз i стандартного гільбертового простору. В підрозділі 2.6. знайдено тінь і досліджується спектр оператора ви гляду:
(2.45) де стандартний простір із адитивною мірою, а деяка вимўрна, обмежена функція. Такий оператор єнормальним і якщо, то є самоспряженим. Спектром та кого оператора є, де. Для цього оператора в теоремі2.6.2. отримано результат типу "спектр тіні дорівнює тіні спектра".
В Розділі 3 дисертаційної роботи досліджуються нестандартні бази з підпросторів. Аналогічно як в розділі 2, вводиться означення nst еквівалентних баз з підпросторів, а також отримано аналогитеорем 2.1.1. і 2.2.1.

ВИСНОВКИ
Дисертація присвячена висвітленню деяких аспектів теорії векторних баз і баз з під просторів в стандартномугільбертовому просторі з точки зору нестандартного аналізу.
Ввівши поняття колостандартної бази, отримано критерій того, коли база в гільбертовому просторі є колостандартноюбазою Рісса (nst базою Рісса) і знайдено критерій сильної колостандартності вектора в гільбертовомупросторі з nst базою Рісса, а також знайдено формулу розвинення тіні вектора і оператора за базою, щоє тінню колостандартної бази Рісса. Виявилось, що тіні вектора і оператора виражаються в термінах координат.
Показано, що при нескінчено малому збуренні колостандартна база Рісса залишається колостандартною базою Рісса.
Отримано нестандартний додаток до результатів М.Крейна і А.Маркуса, що стосу ються баз Барі.
Як застосування отриманих результатів, знайдено необхідні і достатні умови сильної і рівномірної колостандартностіі s компактності діагонального оператора власними векто рами якого є елементи nst бази Рісса, а також операторавигляду
де для кожного nst база Рісса з підпросторів в гільберто вому просторі i проектори на.

Отримані результати можуть знайти застосування при дослідженнях в теорії операторів в гільбертовому просторі, атакож в дослідженнях, в яких застосовується нестандартний аналіз (математична фізика, стохастичний аналіз).
Основнi результати дисертацiйної роботи опублiкованi в наступних статтях:
1.Lyantse V.E., Karabyn O.O. On operator of multiplication by theindependent variable // Вісник Львівськогоуніверситету, серія механіко математична. 1998. Вип. 51. С.128 133.
2.Карабин О.О. Нестандартні бази з підпросторів // Матем. методи та фіз мех поля. 1999. T.42, N 4. C.38 45.
3.Карабин О.О. До поняття бази з підпросторів // Вол. матем. вісник. 1999. Вип.6. С.81 84.
4.Karabyn O. Nst Riesz basis in a Hilbert Space // Вісник Львівського університету, серія механіко математична. 1999. Вип. 54.
5.Lyantse W., Karabyn O. Nearstandard bases in Hilbert space // Book of abstracts International conf. ded. toJ.P.Schauder. Lviv. 1999. P.133.

Карабин О.О. Нестандартні бази в гільбертовому просторі. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико математичних наук
за спеціальністю 01.01.01. математичний аналіз. Львівський національний
університет імені Івана Франка, Львів, 2000.
В роботі досліджуються певні аспекти теорії баз в гільбертовому просторі із застосуванням методів нестандартногоаналізу. Введено поняття колостандартної бази і її тіні. Це дало змогу встановити критерійколостандартності вектора і оператора в термінах їхніх координат і, відповідно, матриць. В якостізастосування, отримані умови сильної і рівномірної колостандартності, а також s компактності діагональногооператора.
Ключові слова: колостандартність, колостандартна еквівалентність, тінь вектора, тінь оператора, тінь бази.

Karabyn O.O. Nonstandard basis in Hilbert space. Manuscript.
The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degreeon the speciality 01.01.01. Mathematical Analysis, Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2000.
A fragment of the nonstandard theory of bases in Hilbert space is developped. A conception of nearstandard basisand shadow is proposed. This allows to define a criterion of nearstandardness of a vector and operator in terms oftheirs corresponding coordinates and matrices. As examples, the condition of strong and uniform nearstandardnessand also s compactness of diagonal operator is obtained.
Key words: nearstandardness, nearstandard equivalency, shadow of vector, shadow of operator, shadow of basis.

Карабын О.О. Нестандартные базисы в гильбертовом прострастве. Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико математических наук
по специальности 01.01.01. математический анализ. Львовский национальный
университет имени Ивана Франко, Львов, 2000.

В работе исследуются определённые аспекты теории базисов в гильбертовом
пространстве с применением методов нестандартного анализа. Работа начинается
с обзора литературы по исследуемой теме и краткого обзора принципов
нестандартного анализа, используемых в работе. В разделе, посвящённом
векторным базисам, вводится понятие околостандартной эквивалентности
нестандартных базисов (в основе лежит требование околостандартности
эквиваленции базисов в смысле операторной нормы). Бесконечная близость
нестандартных базисов определяется условием, что эквиваленция этих
базисов является оператором, бесконечно близким по норме к оператору
тождественного преобразования. Это позволяет естественным образом
определить понятие околостандартного базиса и его тени. На этом основании
найдена формула для тени вектора в терминах его координат относительно
околостандартного базиса. В случае околостандартного базиса Рисса
(базиса, nst эквивалентного некоторому ортонормированному базису)
подаётся критерий сильной околостандартности вектора. Доказывается, что
понятие околостандартности базиса Рисса является инвариантным относительно
бесконечно малых возмущений. Найдены условия для того, чтобы
последовательность векторов в гильбертовом пространстве образовывала
нестандартный базис Бари.

В качестве приложений, получены условия сильной и равномерной
околостандартности, а также s компактности оператора, собственные векторы
которого образуют околостандартный базис Рисса. Используя концепцию
граф околостандартности, получено формулу для тени неограниченного
диагонального оператора.
В заключительном разделе диссертации предыдущие результаты обобщены на
случай базисов из подпространств. В частности, рассмотрен диагональный
оператор вида:,где для каждого, nst базис Рисса из подпространств в гильбертовом пространстве H и проекторы H на. Для него найдены условия сильной и равномерной околостандартности, s компактности. Найденаформула тени такого оператора при условии, что некоторые
из операторов неограниченные.
Ключевые слова: околостандартность, околостандартная эквивалентность,тень вектора, тень оператора, тень базиса.