Існування та апроксимації глобальних атракторів нелінійних еволюційних рівнянь » ДНН.су Дослідження Нової Науки - наукові роботи, дисертації, монографії, статті, реферати та автореферати українською мовою

Навігація

Друзья

Пошук

Існування та апроксимації глобальних атракторів нелінійних еволюційних рівнянь

2 серпня 2009

Увага! У вас немає прав для перегляду схованого тексту.

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Капустян Олексій Володимирович

УДК 517.9

Існування та апроксимації глобальних атракторів
нелінійних еволюційних рівнянь

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,
член-кореспондент НАН України,
професор Перестюк Микола Олексійович,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
декан механіко-математичного факультету.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,
член-кореспондент НАН України,
професор Горбачук Мирослав Львович,
Інститут математики НАН України,
завідуючий відділом;

кандидат фізико-математичних наук
Владіміров Всеволод Анатолійович,
Інститут геофізики НАН України,
провідний науковий співробітник.
Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України,
відділ нелінійного аналізу (м. Донецьк)

Захист відбудеться " 25 " вересня 2000 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 приКиївському національному університеті імені Тараса Шевченка (03022, м. Киів-22, пр-т Глушкова, 6, механіко-математичний факультет).
З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка заадресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.
Автореферат розіслано " 15 " липня 2000 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

Загальна характеристика
Актуальність теми.
Потужним апаратом якісного аналізу нескінченновимірних динамічних систем слугують методи теоріїоднопараметричних напівгруп нелінійних операторів. Використанням апарату напівгруп в останнє десятиріччяотримано глибокі результати по глобальних атракторах для еволюційних диференціальних рівнянь, щоописують течію в язкої нестислої рідини (О. О. Ладиженська, А.В. Бабін, М.І. Вишик, Ю.С. Ільяшенко, C. Foias, G. Sell, R.Temam та інші), для рівнянь хімічної кінетики (системи реакція-дифузія) (А.В. Бабін і М. І. Вишик, Д.А. Камаєв,E. Feireise, P. Lavrencot, M. Marion, F. Simondon, H. Tovre та інші), для хвильових рівнянь (А.В. Бабін і М.І. Вишик,І.Д. Чуєшов, J. Chidaglia, J. Hale, A. Haraux, W. Strauss, R. Temam та інші), для задач нелінійної теоріїоболонок (І.Д. Чуєшов), для системи фазово-польових рівнянь (В.К. Калантаров), для моделей релаксуючихсередовищ (В.А. Владіміров) та для багатьох інших. Дослідженню поведінки на нескінченості розв язківдиференціально-операторних рівнянь присвячено роботи М.Л. Горбачука та його учнів. Режими з загостренням дляузагальнених параболічних рівнянь вивчалися А.Ю. Шишковим. Ці результати, в свою чергу, стимулювали подальшийрозвиток абстрактної теорії однопараметричних напівгруп. З'явились дослідження по напівнеперервнійзалежності атракторів напівгруп від параметрів, їх метричних апроксимаціях, оцінці хаусдорфової тафрактальної розмірностей, що дало змогу розглянути аналогічні питання для широкого кола еволюційних рівняньматематичної фізики (А.В. Бабін і М.І. Вишик, О.О. Ладиженська, Л.В. Капітанський, І.І. Костін, І.Д. Чуєшов,A. Douady, J. Hale, X. Mora, C. Foias, J.-M. Ghidaglia, J. Oesterle, R. Temam та інші).
Разом з тим існує велика кількість систем, для яких застосування цих результатів проблематичне. Це динамічнісистеми, початковий стан яких не визначає однозначно їх подальшої поведінки. До них відносяться еволюційнірівняння в частинних похідних без єдиності розв'язку, диференціально-операторні включення, системи, щомістять операторні та диференціально-операторні рівняння, варіаційні нерівності еволюційного типу, нелінійнісистеми з імпульсним збуренням тощо.
В дисертаційній роботі розвивається апарат многозначних напівпотоків (многозначний аналог однопараметричнихнапівгруп), запропонований в роботах В.С. Мельника, який дозволяє вивчати многозначні динамічнісистеми в банахових та топологічних просторах. В дисертації, зокрема, вперше для многозначних напівпотоківдосліджено питання залежності атракторів від параметрів та метричних апроксимацій. Використовуючирозроблені абстрактні методи, в роботі вивчаються умови існування, властивості та залежність відпараметрів глобальних атракторів автономних еволюційних рівнянь та включень, коли не виконуються умови єдиностірозв'язків. Цей підхід дозволяє суттєво послабити умови на нелінійні члени, що входять в рівняння.
Розглядається система фазово-польових рівнянь, параболічне рівняння четвертого порядку Хана-Хіларда, нелінійнегіперболічне рівняння, параболічні рівняння з многозначною правою частиною. Серед інших робіт, в якихвивчалися деякі питання теорії многозначних напiвдинамічних систем та їх застосування, відмітимо роботи А.В.Бабіна, Д.Н. Чебана і Д.С. Факіх, D.E. Norman, J. Valero.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках теми 97-043 "Дослідженняколивних режимів та інтегральних множин у детермінованих і стохастичних динамічних системах" (номердержреєстрації 0197U003101).
Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка елементів теорії многозначних нескінченновимірнихдинамічних систем та її застосування в дослідженні існування, топологічних властивостей,залежності від параметрів і метричних апроксимацій глобальних атракторів класу еволюційних рівнянь тавключень без єдиності розв'язку.
Методика дослідження. Використовуються теорія рівнянь в частинних похідних, теорія динамічних систем, нелінійнийаналіз.
Наукова новизна результатів. Науковою новизною дисертаційної роботи є:
-побудова для нелінійних евлюційних рівнянь, права частина яких не забезпечує єдиність розв'язку, многозначногоаналогу напівгрупи - м-напівпотоку і доведення для нього існування глобального атрактору в фазовомупросторі;
-дослідження поведінки атрактору в залежності від правої частини рівняння;
-теорема про існування глобального атрактору для еволюційних включень, де многозначне відображення в правій частиніне є неперервним в метриці Хаусдорфа; -доведення теореми про апроксимацію атрактору еволюційного включення вметриці Хаусдорфа більш регулярними множинами і дослідження його поведінки в залежності від правої частини.
Теоретична та практична цінність. Результати роботи мають теоретичний характер і їх можна застосувати для якісногодослідження нелінійних граничних задач математичної фізики.
Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. У спільних працяхспівавторам належать постановки задач та аналіз здобутих результатів.
Апробація результатів. Результати розділу 1 були предметом доповіді на міжнародній конференції "Треті Боголюбовськічитання" (Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань), Київ, 1997;
- результати розділу 2 доповідалися на науковому семінарі в ІПСА НАН України
та Міносвіти України "Нелінійний аналіз і його застосування" (керівник проф. В.С. Мельник) в 1998 р. і на науковійконференції "Метод функцій Ляпунова та його застосування" (Четверта Кримська міжнародна математична школа),Алушта, 1998;
- результати розділів 2,3 були предметом доповіді на науковому семінарі в Київському національному університетіімені Тараса Шевченка "Диференціальні рівняння" (керівник проф. М.О. Перестюк) в 1998 р. і в 1999 р. тана науковій конференції "NPDE'99", Львів, 1999;
- результати розділу 4 доповідалися на науковому семінарі з нелінійного аналізу в Інституті математики НАН України(керівник проф. І.В. Скрипник) в 1999 р.;
- дисертаційна робота в повному обсязі доповідалася на науковому семінарі відділу диференціальних рівнянь вчастинних похідних в Інституті математики НАН України (керівник проф. М.Л. Горбачук) в 2000 р. і на науковомусемінарі в Інституті прикладної математики і механіки НАН України (керівник проф. І.В. Скрипник) в 2000 р.
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1 - 8].
Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, спискувикористаних джерел (83 найменування). Загальний обсяг дисертації становить 114 сторінок, основний текствикладено на 105 сторінках.
Автор дисертації висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору Миколі Олексійовичу Перестюку іпрофесору Валерію Сергійовичу Мельнику за постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач, допомогу в їхрозв'язанні і постійну увагу до роботи.

Основний зміст
У вступі обгрунтована актуальність теми та доцільність роботи, наводиться огляд літератури по темі дисертації,вказано мету та задачі дослідження, формулюються основні результати роботи.
В першому розділі розробляються елементи теорії многозначних напівпотоків (м-напівпотоків) шляхом узагальнення намногозначний випадок результатів класичної теорії динамічних систем.
Необхідні позначення: - повний метричний простір, - сукупність всіх непорожніх ( непорожніх, обмежених; непорожніх,замкнених) підмножин, , - метрика Хаусдорфа.
Нехай метричний простір. Відображення називається w-напівнеперервним зверху в точці, якщо для довільного існуєтаке, що, де окіл в відповідному просторі.
Об єктом дослідження є многозначне відображення.
Означення. Відображення називається м-напівпотоком, якщо
для довільних;
для довільних.
Означення. Множина називається глобальним атрактором м-напівпотоку, якщо
- притягуюча множина, тобто для довільної множини;
- напівінваріантна, тобто для довільних;
і для довільної притягуючої множини маємо.
Атрактор називається інваріантним, якщо для довільних.
Означення. М-напівпотік називається асимптотично напівкомпактним зверху ( ас.нк.зв. ), якщо для довільної множинитакої, що при деякому, послідовність є предкомпактною в.
Означення. М-напівпотік називається точково дисипативним, якщо існує така множина, що притягує кожну точку.
Теорема 1.1. Нехай - повний метричний простір, в якому кожен компакт є ніде не щільною множиною, м-напівпотік єас.нк.зв. і для довільної множини існує таке, що. Якщо при цьому для довільного відображення є напівнеперервнимзверху, то існує глобальний атрактор, який є ліндельофовим локально компактним простором втопології суми. також є компактом в, якщо м-напівпотік є точково дисипативним.
Розглядається також більш загальна ситуація, коли - хаусдорфовий топологічний простір. Для довільної множинипозначимо замикання в топології простору.
Означення. Множина називається - атрактором , якщо:
для довільних множини і відкритого в околу існує таке, що для довільних (є притягуючою множиною в);
для довільних (напівінваріантна);
і для довільної притягуючої в множини.
Теорема 1.5. Нехай є м-напівпотоком і для довільної множини існує і компактна в множина такі, що для довільноговиконується. Нехай також для довільної множини справджується вкладення для довільних, а множина єзамкненою в для довільних і.
Тоді для м-напівпотоку існує атрактор, який є паракомпактом в і якщо - регулярний топологічний простір, то має всівластивості атрактору з теореми 1.1.
Показано також, що многозначну напівдинамічну систему за певних умов можна розглядати як однозначну в деякомуфазовому просторі.
Нехай - сукупність м-напівпотоків, - метричний простір, - неізольована точка. Наступні дві теореми характеризують"близькість" атракторів для "близьких" м-напівпотоків.
Теорема 2.2. Многозначне відображення, побудоване в (3), є м-напівпотоком і для нього існує глобальний компактнийатрактор.
Розглядається послідовність задач (1) з функціями, що в деякому сенсі збігаються до функції. Тоді в деякому сенсібудуть збігатися і відповідні атрактори.
Теорема 2.3. Нехай для функцій виконуються умови 1) - 3) теореми 2.1 рівномірно по ( константа і функція незалежать від ) і для м.в. функції рівномірно збігаються до деякої функції на кожному скінченому відрізку. Тоді задачі (1)для функцій і задовольняють теорему 2.1, відповідні розв язки породжують многозначні напівпотоки і, які задовольняютьтеорему 2.2 і для атракторів маємо.
В третьому розділі теорія м-напівпотоків застосовується до модифікованого рівняння Хана-Хіларда і нелінійногогіперболічного рівняння.

Висновки
В дисертаційній роботі розроблено теорію многозначних напівдинамічних систем та їх атракторів, доведено теореми проіснування глобальних атракторів м-напівпотоків та неперервну і напівнеперервну зверху залежність цих атракторіввід параметру. Також розглянута ситуація, коли м-напівпотік діє з метричного простору в хаусдорфовийтопологічний простір . Для таких м-напівпотоків доведено існування атракторів і досліджені їхвластивості.
Для деяких нелінійних еволюційних рівнянь, праві частини яких не забезпечують єдиності розв язку, доведеноіснування узагальненого розв язку, що задовольняє деяку глобальну по часу оцінку в фазовому просторі. Доведено, що такі розвязки породжують м-напівпотік, для якого існує глобальний компактний атрактор в фазовому просторі. З такої точкизору розглянуто систему фазово-польових рівнянь, рівняння Хана-Хіларда і нелінійне гіперболічне рівняння.Доведено, що при умові неперервної залежності від параметру правих частин рівняння відповідні глобальніатрактори будуть напівнеперервно зверх залежати від параметру в метриці Хаусдорфа.
Для еволюційного включення в банаховому просторі за умови напівнеперервності зверху многозначної правої частинидоведено, що сильні розв язки цього включення породжують м-напівпотік, для якого існує глобальний компактнийінваріантний атрактор. Досліджена можливість апроксимації цього атрактору більш регулярними множинами вметриці Хаусдорфа і з ясовано умови, за яких має місце неперервна в метриці Хаусдорфа залежність атрактору відпараметру. Також розглянуті збурені еволюційні включення і доведена напівнеперервна зверху залежністьглобального атрактору від збурюючого параметру.

Список опублікованих праць за темою дисертації
1. Капустян А.В., Мельник В.С. Аттракторы многозначных полудинамических систем и их аппроксимации // ДоповідіНАН України. - 1998. - №10. - С. 21-25.
2. Капустян А.В., Мельник В.С. О глобальных аттракторах многозначных полудинамических систем и их аппроксимациях// Доклады РАН. - 1999. - т. 366. - №4. - С. 445-448.
3. Капустян О.В. Атрактор напівпотоку, породженого системою фазово-польових рівнянь без єдиності розв язку //УМЖ. - 1999. - т. 51. - №7. - С. 1006-1009.
4. Капустян О.В. Оцінка розмірності атрактору м-напівпотоку, що породжується системою фазово-польових рівняньбез єдиності розв язку // Вісник Київського університету. Сер.: фізико-математична. - 1999. - №1. - С. 24-30.
5. Капустян О.В. Апроксимації і неперервна залежність від параметру атракторів диференціальних включень //Математичні студії. - 2000. - т. 13. - №1. - С. 83-86.
6. Kapustyan A.V., Melnik V.S. On the approximation of global attractors of multivariate equations ofhydrodynamic type // Міжнародна конференція "ASYM 97" (18 - 23 серпня 1997 р.). Тези доповідей. - Київ. - 1997. -С.78.
7. Капустян А.В., Мельник В.С. Глобальные аттракторы м-полупотоков, порожденных системой фазово-полевыхуравнений // Міжнародна конференція "Метод функции Ляпунова и его приложения" (5 - 12 вересня 1998 р.). Тези доповідей. -Крим, Алушта. - 1998. - С.30.
8. Kapustyan A.V. The global attractors of many-valued semiflows, which are generated by some evolutionequations // Міжнародна конференція "NPDE 99" (23 - 29 серпня 1999 р.). Тези доповідей. - Львів. - 1999. - С. 95.

Капустян О.В. Існування та апроксимації глобальних атракторів нелінійних еволюційних рівнянь. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02. -диференціальні рівняння. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.
В дисертації розробляється теорія многозначних напівпотоків (многозначних аналогів однопараметричних напівгруп),доводяться теореми про існування у цих напівпотоків глобальних атракторів. Досліджується їх залежністьвід параметру. Ця теорія застосовується до нелінійних еволюційних рівнянь у випадку, коли для останніх невдається довести єдиність розв язку. Многозначний напівпотік породжується розв язками, що задовольняють певнуглобальну по часу оцінку. Отримано існування глобального компактного атрактору в фазовому просторі длямногозначних напівпотоків, що породжуються системою фазово-польових рівнянь, рівнянням Хана-Хіларда і нелінійнимгіперболічним рівнянням. Доведено, що цей атрактор є напівнеперервною зверху функцією параметру.
Іншим об єктом дослідження є диференціальне включення в банаховому просторі з напівнеперервною зверху правоючастиною. Всі сильні розв язки такого включення породжують многозначний напівпотік, для якого існуєглобальний, компактний, інваріантний атрактор. Досліджена можливість апроксимації цього атрактору в метриціХаусдорфа і доведена теорема про неперервну залежність атрактору від параметру.
Ключові слова: многозначна динамічна система, атрактор, еволюційне рівняння, диференціальне включення.

Kapustyan A.V. Existence and approximations of global attractors of nonlinear evolution equations. - Manuscript.
The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.02. -differential equations. - Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2000.
In the thesis the theory of multivalued semiflows (multivalued analogous of one-parameter semigroups) is workedout, the theorems of existence of global attractors for these semiflows are proved. Their dependence on parameter areinvestigated. That theory is applied to nonlinear evolution equations in the case of not managing to prove theuniqueness of solution. The multivalued semiflow is generated by solutions which are satisfied the time-globalestimation. The existence of global compact attractors in the fase space for multivalued semiflow generatedby the system of fase-field equations, Cahn-Hillard equation and nonlinear hyperbolic equation is obtained. It isproved that the attractor is upper semicontinuous function on parameter.
Other object of investigation is differential inclusion in Banach space with upper semicontinuous right-hand side.All strong solutions of the inclusion generate multivalued semiflow for which there exists global compactinvariant attractor. Possibility of approximation of the attractor in Hausdorff metric are investigated. Thetheorem of continuous dependence of the attractor on parameter is proved.
Key words: multivalued dynamical system, attractor, evolution equation, differential inclusion.

Капустян А.В. Существование и аппроксимации глобальных аттракторов нелинейных эволюционных уравнений. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02. -дифференциальные уравнения. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.
В диссертации разрабатывается теория многозначных полупотоков (многозначный аналог однопараметрических полугрупп),с помощью которой изучаются многозначные динамические системы в банаховых и топологических пространствах. Основнымобъектом исследований есть глобальный аттрактор многозначной динамической системы. Получены теоремысуществования глобального аттрактора для полунепрерывных сверху многозначных полупотоков, исследованы еготопологические свойства. Для случая полупотока, действующего из метрического пространства в топологическоепространство доказано существование аттрактора и исследованы его свойства. Для глобальныхаттракторов доказана полунепрерывная сверху и непрерывная зависимость от параметра в метрике Хаусдорфа.Аппарат многозначных полупотоков применяется к нелинейным эволюционным уравнениям, правые части которыхне позволяют доказать единственность решения. Отказываясь от гладкости правой части, для системы фазово-полевыхуравнений, уравнения Хана-Хилларда и нелинейного гиперболического уравнения доказывается существование(вообще говоря, неединсвенного) обобщенного решения, которое удовлетворяет некоторую глобальную по времени оценку в фазовом пространстве. Все такие решения порождают многозначный полупоток, для которого существует глобальный компактный аттрактор. Доказывается, что если правая часть уравнения непрерывно зависит от параметра, тоглобальный аттрактор есть полунепрерывная сверху функция параметра. Другим объектом, динамику решений которогоописывают многозначные полупотоки, есть эволюционные включения в банаховых пространствах. При условииполунепрерывности сверху многозначной правой части все сильные решения включения порождают многозначныйполупоток, для которого существует глобальный компактный инвариантный аттрактор. Исследованавозможность аппроксимации этого аттрактора более регулярными множествами. Доказана непрерывная зависимость аттрактора отпараметра в метрике Хаусдорфа при отсутствии непрерывной зависимости от параметра правой части эволюционного включения. Рассмотрены возмущенные эволюционные включения и доказана полунепрерывная сверху зависимость аттрактора такого включения от возмущающего параметра.
Ключевые слова: многозначная динамическая система, аттрактор, эволюционное уравнение, дифференциальное включение.