БІНАРНІ ТА n-АРНІ ІЗОТОПИ ГРУП » ДНН.су Дослідження Нової Науки - наукові роботи, дисертації, монографії, статті, реферати та автореферати українською мовою

Навігація

Друзья

Пошук

БІНАРНІ ТА n-АРНІ ІЗОТОПИ ГРУП

2 серпня 2009

Увага! У вас немає прав для перегляду схованого тексту.

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.548

Кирнасовський Олег Юхимович

БІНАРНІ ТА n-АРНІ ІЗОТОПИ ГРУП:
Основні алгебричні поняття та кількісні характеристики

Спеціальність 01.01.06: "Алгебра та теорія чисел"

Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2000.

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано у Вінницькому державному педагогічному університеті імені Михайла Коцюбинського.

Науковий керівник:кандидат фізико-математичних наук
Сохацький Федір Миколайович,
кафедра алгебри і методики викладання математики
Вінницького державного педагогічного університету
імені Михайла Коцюбинського.

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук
старший науковий співробітник
Новіков Борис Володимирович,
Харківський національний університет
імені В. Каразіна;
кандидат фізико-математичних наук
доцент Ганюшкін Олександр Григорович
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка.

Провідна організація:
Інститут математики Академії наук України.

Захист відбудеться _15 січня_ 2001_ року о _15:00_ на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.18 приКиївському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: Київ-127, проспект академіка Глушкова,6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка(вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано _11 грудня_ 2000_ року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Петравчук А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми.
На квазігрупах, "близьких" до груп, найпродуктивніше узагальнюються результати теорії груп тапрогнозуються результати для більш широких класів квазігруп. В класі луп такими "близькими" квазігрупами, щопривертали увагу багатьох науковців, є лупи Муфанг, а в класі квазігруп - ізотопи груп, особливо - лінійніізотопи груп. Проте враження щодо легкості вивчення ізотопів груп є досить оманливим. Скажімо, Ф.М. Сохацьким показано, щов багатьох випадках розв'язання задачі опису ізотопів груп з точністю до ізоморфізму вимагає розв'язання відомоїзадачі про пару матриць, а тому задача такого опису є "дикою". А В.І. Ізбаш показав, що при ізотопіївластивості квазігруп можуть змінюватись настільки сильно, що абсолютно втрачається, наприклад структурапідквазігруп та конгруенцій.
З іншого боку, в численних працях В.Д. Білоусова, М. Тейлора, А. Крапежа та інших науковців показано, щорозв'язування багатьох функційних рівнянь призводить до вивчення бінарних та n-арних ізотопів груп.
Також бінарні та n-арні ізотопи груп з'являлись у дослідженнях інших питань: Г.Б. Бєлявська довела, що в многовидібінарних квазігруп абелевими алгебрами в значенні Маккензі є точно лінійні ізотопи абелевих груп; Л.М.Глускін та М. Хосу встановили, що n-групи є n-арними лінійними ізотопами груп; В.Д. Білоусов довів, що n-арнімедіальні квазігрупи є n-арними лінійними ізотопами абелевих груп (в бінарному випадкові - це відома теоремаБрака - Тойоди); Ф.М. Сохацький встановив, що роздільні n-арні квазігрупи з властивістю оборотності таполіагрупи теж є n-арними лінійними ізотопами груп. В. Дудек показав, що квадратичні квазігрупи є лінійнимиізотопами абелевих груп.
Першими працями, в яких цілеспрямовано вивчались бінарні ізотопи групи, були стаття Я. Єжека та Т. Кепки, праці Т.Кепки та П. Нємця про лінійні ізотопи абелевих груп, праці В.Д. Білоусова, М. Тейлора, Я. Дуплака та Ф.М.Сохацького про тотожності, що гарантують ізотопність квазігрупи до групи. Частину робіт та дисертацій В.І.Ізбаша, В.А. Щербакова (керівник - В.Д. Білоусов) та А.Х. Табарова (керівник - Г.Б. Бєлявська) присвяченовивченню ізотопів груп. В статті Ф.М. Сохацького та П. Сиваківського розпочато цілеспрямоване дослідженняn-арних лінійних ізотопів циклічних груп.
Вперше системне дослідження бінарних ізотопів груп розпочато Ф.М. Сохацьким, яким розроблено та удосконаленопонятійний апарат, основні методи дослідження, введено поняття канонічного розкладу та зведено вивченнягомоморфізмів, конгруенцій, автоморфізмів, підквазігруп тощо до вивчення відповідних залежностей міжкомпонентами канонічних розкладів, тобто залежностей в групі канонічного розкладу. Це дозволило описатизазначені алгебричні поняття для деяких класів квазігруп. Встановлено також метод знаходження формул, що описують ізотопнезамикання класів груп за формулами, які описують такі класи груп, і навпаки. Описано квазігруповітотожності, які гарантують ізотопність до групи, її лінійність тощо.
Проте ці дослідження ще не дали розв'язання багатьох питань про ізотопи груп, важливих для розвитку теоріїквазігруп. Основними з них є такі:
1) залишено багато прогалин в проблемах опису груп автоморфізмів, моноїдів ендоморфізмів, решіток підквазігруп,конгруенцій та інших супутніх алгебричних понять для бінарних ізотопів груп, причому навіть для такихпростих, здавалось би, для вивчення, як лінійні ізотопи циклічних груп;
2) для n-арних ізотопів груп системної теорії взагалі немає;
3) цілеспрямоване вивчення кількостей ізотопів скінченних груп не проводилось взагалі;
4) відкритим залишилось питання класифікації як n-арних так і бінарних ізотопів груп.
При цьому зрозумілим є той факт, що подальше дослідження ізотопів груп дає нові ідейні джерела для розвиткупонятійного апарату теорії квазігруп та полігон для перевірки гіпотез.
Все це пояснює доцільність продовження заповнення тих прогалин у теорії квазігруп, що стосуються бінарних та n-арних ізотопів груп.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Вивчення бінарних та n-арних ізотопів груп є частинаминаукових планів Вінницького державного педагогічного університету ім. М. Коцюбинського та державнихнаукових тем, які виконувались у цьому університеті під науковим керівництвом Ф.М. Сохацького: N 44/5 АН"Дослідження багатомісних функцій за допомогою суперпозицій" (1990 - 1994 роки); N 82 "Дослідження багатоміснихфункцій та операцій над ними" (1995 - 1996 роки); N 44/2 "Дослідження багатомісних функцій тавідповідних алгебр" (1997 - 1999 роки); N 95 "Дослідження багатомісних функцій та відношень алгебричнимиметодами" (2000 - 2001 роки).
Мета та завдання дослідження. Отже, метою даної роботи є встановлення нових результатів про основні алгебричніпоняття та кількісні характеристики для бінарних та n-арних ізотопів груп в напрямку виконання такихконкретних завдань:
1) описати гомоморфізми, підквазігрупи та нормальні конгруенції для n-арних ізотопів груп;
2) вивести для лінійних квазігруп критерії належності до найуживаніших класів квазігруп;
3) одержати тотожності (особливо врівноважені), які характеризують многовид усіх n-арних (зокрема, бінарних)ізотопів груп та найважливіші його підмноговиди;
4) виділити класи n-арних ізотопів груп, для яких можна досить точно описати групи автоморфізмів, і зробити цейопис;
5) встановити критерії однорідності та кратної однорідності n-арних ізотопів груп;
6) класифікувати скінченні лінійні ізотопи циклічних груп за допомогою числових інваріантів, які б характеризувалигрупи автоморфізмів, моноїди ендоморфізмів тощо з точністю до ізоморфізму;
7) одержати формули знаходження кількостей з точністю до ізоморфізму лінійних ізотопів груп (зокрема, циклічних) зрізних відомих класів квазігруп, таких як IP-квазігрупи, моноквазігрупи, комутативні, ідемпотентні тощо.
Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати цієї дисертації є новими. Відмітимо деякі основні результати,одержані автором дисертації, зазначаючи при цьому ступінь новизни. Доведено існування врівноваженихтотожностей, які характеризують в класі всіх n-арних квазігруп класи всіх n-арних ізотопів груп, всіхn-арних ізотопів абелевих груп та їхні підкласи всіх лінійних та i-лінійних ізотопів груп (удосконаленорезультати В.Д. Білоусова (1966), Дж. Ацеля, В.Д. Білоусова та М. Хосу (1960), Г.Б. Бєлявської та А.Х.Табарова (1991, 1992) й Ф.М. Сохацького (1995)). Знайдено критерії транзитивності та кратної транзитивностігруп автоморфізмів n-арних ізотопів груп (результат є новим для n>2, А.П. Ільїних при n=2 описав усі скінченні бінарнігрупоїди, що мають двічі транзитивні групи автоморфізмів). Класифіковано скінченні n-арні лінійні ізотопициклічних груп (уперше одержано). Знайдено з точністю до ізоморфізму кількість n-арних лінійних ізотопівциклічної групи порядку m (уперше одержано, цим самим дано відповідь на проблему, поставлену в статті Ф.М.Сохацького та П. Сиваківського).
Практичне значення отриманих результатів. Ця дисертація має теоретичне значення та може бути застосованою доподальшого вивчення n-арних ізотопів груп (наприклад, до опису груп автоморфізмів, моноїдів ендоморфізмів таверхніх напіврешіток підалгебр n-арних лінійних ізотопів циклічних груп за допомогою встановленого тутінваріанту) та до загального розвитку теорії квазігруп, зокрема, при вивченні тотожностей та функційних рівнянь на квазігрупах.
Особистий внесок здобувача. В допоміжних результатах дисертації (а саме: описах гомотопій, канонічних розкладів,гомоморфізмів, ізотопних замикань та конгруенцій) використано ідеї Сохацького, з яким автор цієїдисертації підготував до друку статтю у співавторстві (основні з цих ідей попередньо опубліковано цимиспівавторами на науковій конференції). Решту результатів, в тому числі всі основні, одержано автором особисто.
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включених до цієї дисертації висвітлено на п'ятій ташостій міжнародних наукових конференціях імені академіка М. Кравчука у Києві, на міжнародній конференції з універсальноїалгебри та теорії решіток у Сегеді, на міжнародній алгебричній конференції, присвяченій пам'яті Л.М.Глускіна, у Слов'янську, на другій міжнародній алгебричній конференції, присвяченій пам'яті Л. Калужніна, уВінниці, на міжнародній конференції "Loops'99" у Празі, на міжнародній конференції з математики та інформатики,присвяченій 50-річчю державного університету Молдови та АН Молдови, на звітних наукових конференціяхВінницького державного педагогічного університету 1996 - 2000 років та на декількох алгебричнихсемінарах при Інституті математики АН Молдови у Кишиневі, при Київському національному університетіімені Тараса Шевченка й при Вінницькому державному педагогічному університеті імені Михайла Коцюбинського.
Публікації. Результати цих досліджень опубліковано в 5 статтях та 17 тезах.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційну роботу викладено на 147 сторінках. Вона містить вступ, 4 розділи,висновки та список з 78 джерел, обсяг якого становить 9 сторінок. Перший розділ складається з 2підрозділів, другий - з 8 підрозділів та висновків, третій - з 5 підрозділів та висновків, четвертий - з чотирьох підрозділів тависновків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У першому розділі зроблено огляд літератури, виділено напрямки дослідження, дано означення основних понять таподано допоміжні результати.
Алгебру з однією операцією довільної арності n>1 названо групоїдом, а групоїд, для якого кожне ділення визначенооднозначно,- квазігрупою. При цьому i-те ділення для операції f позначають за, а при n=2 ліве та праведілення позначають відповідно за / та \.
Квазігрупу (Q;f) названо ізотопом групи (Q;+), якщо існують підстановки, ..., та, для яких операція f визначаєтьсярівністю. Цей ізотоп групи названо лінійним, якщо всі ці підстановки є композиціями автоморфізмів татрансляцій групи (Q;+).
Відомими є зв'язок між квазігрупами та латинськими квадратами та зв'язок між квазігрупами та сітками (В.Д. Білоусовта А.С. Бектенов (1979), О. Чейн, Г.О. Пфлюгфельдер та Дж. Сміт (1990) тощо). При цій відповідностіізоморфізму сіток та еквівалентності латинських квадратів відповідає ізотопія квазігруп. Тому проблемаопису інваріантних при ізотопії формул ставилась багатьма дослідниками в теоріях квазігруп, латинськихквадратів, сіток та інших (наприклад, Б. Брайан та Г. Шнайдер (1966), Е. Фалконер (1970), Е. Гудейр та Д.Робінсон (1982), Г. Моносова (1988), П.Н. Сирбу (1994, 1996) та інші). Проблема опису інваріантних при ізотопіїформул існує давно, але її не розв'язано до цих пір. З цією проблемою є щільно пов'язаним питання про описізотопно замкнених класів квазігруп і луп. Відомо лише деякі приклади таких класів. Наприклад, в класі луптакими класами є клас луп Муфанг (якщо лупа є ізотопною до лупи Муфанг, то вона також є лупою Муфанг (В.Д.Білоусов, 1967), клас G-луп тощо. В класі всіх квазігруп - це ізотопне замикання класу луп Муфанг (А.Х.Табаров, 1999) та інші. Проте найбільше досліджень було присвячено вивченню ізотопних замикань класів груп тазнаходженню відповідних формул (наприклад, Г.Б. Бєлявська та А.Х. Табаров (1991, 1992), Я. Єжек та Т. Кепка(1975) та інші).
Вперше цілеспрямоване вивчення бінарних ізотопних замикань класів груп було дано в статтях Я. Єжека, Т. Кепки та П.Нємца (1971, 1975), наступний системний крок в цьому напрямку було зроблено Ф.М. Сохацьким (1995), причомурозроблено новий підхід до розв'язання цієї проблеми. Ізотопія взагалі та канонічний розклад зокремавстановлюють зв'язок між груповими ізотопами та параметричними групами. Можна вважати, що клас всіх групміститься в класі всіх параметричних груп, адже кожну групу можна вважати параметричною, якщо за параметривзяти тотожні перетворення множини. Ф.М. Сохацьким (1995) досліджувались лише ізотопні замикання класів груп, причомубінарні замикання, тобто результуючий клас алгебр є класом бінарних квазігруп, які є ізотопами груп даногокласу.
У другому розділі закладено декілька базових понять для побудови загальної теорії n-арних ізотопів груп. Доведено,що кожний груповий ізотоп має канонічний розклад (теорема 2.1.7), і в термінах компонент канонічнихрозкладів описано гомоморфізми між груповими ізотопами (теорема 2.2.4), підквазігрупи та нормальніконгруенції групових ізотопів (теореми 2.6.3 та 2.8.2). Також розроблено метод побудови формул, якіописують многовиди групових ізотопів з даними властивостями групи та коефіцієнтів канонічного розкладу (теорема2.3.6), причому для основних многовидів групових ізотопів побудовано врівноважені тотожності (теорема 2.5.9із зауваженням після неї), тобто тотожності без предметних констант, в яких кожна їхня предметна змінназустрічається в лівій та правій частинах точно по одному разу. Доведено (теорема 2.5.9) існуванняврівноваженої тотожності, що характеризує многовид усіх тих групових ізотопів фіксованої арності, якімають фіксовані властивості i-лінійності ізотопу групи чи комутативності відповідної групи. Наприклад, в наслідку 2.5.7наведено врівноважені тотожності, які характеризують класи ліволінійних та праволінійних квазігруп.Встановлено також низку інших результатів.
Розкладом групового ізотопу (Q;f) називають праву частину рівності, де - відповідна ізотопія (див. означенняізотопу групи). Цей розклад позначатимемо за. При цьому групу (Q;+) називають групою цього розкладу, а також говорять, щоцей груповий ізотоп відповідає цьому розкладу. Один і той же ізотоп групи може мати декілька розкладів.
Виділимо тепер канонічний розклад. Розклад групового ізотопу арності n назвемо канонічним розкладом індексу iвідносно елементу u або також i-тим u-канонічним розкладом, якщо u є нейтральним елементом групи (Q;+), кожна зпідстановок при є унітарною відносно цієї групи (тобто), а також (тут і скрізь позначає тотожне перетвореннязрозумілої з контексту множини). При i=1 та при i=n називатимемо i-тий u-канонічний розклад відповіднолівим u-канонічним розкладом та правим u-канонічним розкладом.
Теорема 2.1.7. Кожний елемент u групового ізотопу арності n при кожному натуральному значенні визначає єдиний йогоi-тий канонічний розклад.
Теорема 2.2.4. Перетворення є гомоморфізмом ізотопу (Q;f) групи (Q;+) в ізотоп (Q;g) цієї ж групи, які визначаютьсятотожностями, , де a та b - елементи, а, , ..., та - унітарні підстановки цієї групи, тоді й тількитоді, коли є лінійним перетворенням групи (Q;+), де - її ендоморфізм, і виконуються умови, для всіх i=1, ...,n.
Індексовану алгебру назвемо n-параметричною групою, якщо (Q;+) - група, e - її одиниця, I - операція взяттясиметричного елементу в (Q;+), а, - підстановки множини Q, де n>1, й мають місце рівності,.
Формули та назвемо n-арним універсальним термальним замиканням формули та n-арним екзистенційним термальнимзамиканням формули відповідно, якщо - формула сигнатури n-параметричної групи, u - предметна змінна, якане входить в запис формули, а - формула, яку одержано з формули заміною всіх входжень операцій даної сигнатурисимволами f
квазігрупових операцій, користуючись із співвідношень, при i>1, , e=u, при i>1. Введемо також поняття термальногозамикання, як узагалюнюючого для універсального та екзистенційного термальних замикань.
Клас n-параметричних груп назвемо абстрактним, якщо клас відповідних ізотопів груп є абстрактним.
Теорема 2.3.6. Майже абстрактний клас n-параметричних груп описується в класі всіх n-параметричних груп системоюмайже абстрактних формул сигнатури n-параметричної групи тоді й тільки тоді, коли клас всіх груповихізотопів, що відповідають n-параметричним групам з даного майже абстрактного класу, описується в класі всіхn-арних групових ізотопів системою формул, яка складається з n-арних термальних замикань всіх формул ізсистеми.
Той факт, що довільна частина термальних замикань можуть бути універсальними, а решта - екзистенційними, означаєрівносильність універсальних та екзистенційних замикань для таких формул.
Наслідок 2.5.7. Бінарна квазігрупа є ліволінійним (праволінійним) груповим ізотопом тоді й тільки тоді, колизадовольняє врівноважену тотожність (x/y)z.(t\u)=x(((t/z)y)\u) (відповідно (x/y).z(t\u)=(x/(t(z\y)))u).
Теорема 2.6.3. Множина G є підквазігрупою n-арного групового ізотопу (Q;f) з правим u-канонічним розкладом тоді йтільки тоді, коли існують підгрупа H групи (Q;+) та елемент e, такі що, G=H+e,
Теорема 2.8.2. Відношення є нормальною конгруенцією на n-арному груповому ізотопі (Q;f) з правим u-канонічнимрозкладом, де - унітарна підстановка групи (Q;+), тоді й тільки тоді, коли є конгруенцією на групі (Q;+),а також виконуються рівності для всіх i=1, ..., n, де H - нормальна підгрупа групи (Q;+).
За результатами другого розділу автором опубліковано праці [1], [6], [7] та [8].
У третьому розділі описано у вигляді критерію ті лінійні ізотопи довільної групи, чиї групи автоморфізмів єголоморфами цієї групи (теорема 3.1.4) та досліджено деякі інші "екстремальні" випадки на зразок цього, описаногрупові ізотопи, які мають транзитивні групи автоморфізмів (теорема 3.3.4), двічі транзитивні групиавтоморфізмів (теорема 3.3.11), тричі транзитивні групи автоморфізмів (теорема 3.3.12). Класифіковано циклічніізотопи, а саме: виділено інваріанти, які з точністю до ізоморфізму характеризують групу автоморфізмів,моноїд ендоморфізмів та верхню напіврешітку підквазігруп (теорема 3.5.2), причому наслідок 3.4.9зводить вивчення цих понять до випадку n-груп, а наслідок 3.4.14 - до випадку, коли даний циклічний ізотоп єабо бінарним, або тернарним. Встановлено низку інших результатів.
Якщо ізотоп групи з теореми 2.8.2 є лінійним, то позначатимемо його за.
Теорема 3.1.4. Група автоморфізмів лінійного ізотопу групи (Q;+) є голоморфом групи (Q;+) тоді й тільки тоді, колигрупа (Q;+) є абелевою, кожний автоморфізм лежить в центрі групи Aut(Q;+), а також виконуються умови
Для випадку парної арності останні умови є рівносильними до ідемпотентності цього групового ізотопу.
Для зручності формулювання наступних трьох теорем домовимось про єдині позначення: зафіксуємо довільну групу, якупозначимо за (Q;+), її довільний елемент, який позначимо за a, довільне більше за одиницю ціле число, якепозначимо за n, довільні n унітарних підстановок, які позначимо за, …,; при цьому зафіксуємо також позначення(Q;f) для ізотопу групи (Q;+), операція f якого визначається, як у теоремі 2.2.4, позначення - для суми, позначенняH - для групи всіх тих автоморфізмів групи (Q;+), які комутують з усіма підстановками, а також позначеннядля перетворення.
Теорема 3.3.4. Група автоморфізмів групового ізотопу (Q;f) є транзитивною тоді й тільки тоді, коли для кожногоелементу існує такий автоморфізм групи (Q;+), що мають місце рівності для всіх i=1, ..., n, а елемент єобразом елементу a при дії деякого перетворення, взятого з групи H.
Теорема 3.3.11. Транзитивна група автоморфізмів групового ізотопу (Q;f) при |Q|>2 є двічі транзитивною тоді йтільки тоді, коли він є ідемпотентним, а група H є транзитивною на множині всіх ненейтральних елементів групи (Q;+).
Теорема 3.3.12. Група автоморфізмів групового ізотопу (Q;f), де |Q|>3, є тричі транзитивною тоді й тільки тоді,коли він має непарну арність та є похідним від абелевої групи (Q;+) періоду 2, група автоморфізмів якої є двічітранзитивною на множині всіх ненейтральних елементів групи (Q;+).
Циклічним ізотопом називатимемо лінійний ізотоп циклічної групи.
Трійку чисел a, та m назвемо родом скінченного циклічного ізотопу, якщо m - його порядок, a - найбільша для ньогокількість підалгебр однакового порядку, а - кількість розв'язків рівняння відносно змінної x.
Теорема 3.5.2. З точністю до ізоморфізму верхня напіврешітка підалгебр, моноїд ендоморфізмів та група автоморфізмівциклічного ізотопу залежать лише від роду цього циклічного ізотопу. Більше того, деякий ізоморфізм міжверхніми напіврешітками підалгебр двох довільних фіксованих ізотопів одного роду переводить кожну підалгебру впідалгебру того ж порядку.
За результатами третього розділу автором опубліковано праці [2], [3], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16]та [17].
У четвертому розділі одержано критерії належності бінарних ізотопів груп до найвживаніших класів квазігруп тазнайдено формули обчислення кількостей деяких групових ізотопів з точністю до ізоморфізму. Зокрема, знайденокількість всіх неізоморфних циклічних ізотопів даних арності та порядку (теорема 4.4.2), з цієї кількостівиділено кількість ідемпотентних квазігруп (наслідок 4.3.5), моноквазігруп (теорема 4.4.1) тощо. Одержанотакож інші результати такого характеру.
Наслідок 4.3.5. З точністю до ізоморфізму кількість всіх ідемпотентних n-арних лінійних ізотопів циклічних группорядку m, де m та n - довільні фіксовані числа, а
є канонічним розкладом числа m на прості множники, причому, ..., - попарно різні прості числа, а, ..., - натуральнічисла, дорівнює.
Теорема 4.4.1. З точністю до ізоморфізму кількість всіх n-арних моноквазігруп серед n-арних лінійних ізотопівциклічних груп порядку m, де m та n - довільні фіксовані числа, а (4.13) є канонічним розкладом числа m напрості множники, причому, ..., - попарно різні прості числа, а, ..., - натуральні числа, дорівнює.
Теорема 4.4.2. З точністю до ізоморфізму кількість всіх n-арних лінійних ізотопів циклічних груп порядку m, де m таn - довільні фіксовані числа, а (4.13) є канонічним розкладом числа m на прості множники, причому, ..., - попарнорізні прості числа, а, ..., - натуральні числа, дорівнює.
За результатами четвертого розділу автором опубліковано праці [3], [4], [5], [18], [19], [20], [21] та [22].

ВИСНОВКИ
Отже, в цій дисертації описано гомоморфізми, підквазігрупи та нормальні конгруенції n-арних ізотопів груп, одержановрівноважені тотожності, що описують многовид усіх n-арних ізотопів груп та найважливіші його підмноговиди,описано групи автоморфізмів деяких n-арних групових ізотопів, одержано критерії однорідності такратної однорідності n-арних ізотопів груп, введено поняття роду для n-арного лінійного ізотопу скінченної циклічної групи,яке однозначно з точністю до ізоморфізму характеризує групу автоморфізмів, моноїд ендоморфізмів та верхнюнапіврешітку підквазігруп цього ізотопу групи, одержано цілу низку кількісних характеристик класів груповихізотопів.
Основними результатами дисертації є критерії транзитивності та двічі транзитивності групи автоморфізмів n-арногоізотопу групи (теореми 3.3.4 та 3.3.11), теорема 3.5.2 про інваріанти циклічних ізотопів та теорема 4.4.2 прокількість всіх неізоморфних циклічних ізотопів.
Здобуті в дисертації результати можна застосувати до подальшого вивчення циклічних ізотопів, бінарних та n-арнихізотопів груп, а також бінарних та n-арних квазігруп. Побудовано значний фундамент для детального описусупутніх алгебричних понять для n-арних лінійних ізотопів скінченних циклічних груп, одержано полігон дляперевірки великого класу гіпотез теорії квазігруп, удосконалено методику дослідження цих об'єктів.
Всі результати дисертації є строго логічно обгрунтованими та якісно відрізняються від одержаних попередниками.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
[1] Кирнасовський О.Ю. Врівноважена тотожність, яка описує n-арні ізотопи груп в класі всіх n-арних квазігруп//Український математичний журнал.- 1998.- N 6.- С.862 - 864.
[2] Kirnasovsky O.U. The transitive and multitransitive automorphism groups of the multiplace quasigroups//Quasigroups and related systems.- 1997.- vol. 4.- P.23 - 38.
[3] Кирнасовський О.Ю. Класифікація циклічних квазігруп// Вісник Київського національного університету імені ТарасаШевченка.- 2000.- N 2.- С. 12 - 14.
[4] Kirnasovsky O.U. Linear isotopes of small order groups// Quasigroups and related systems.- 1995.- vol. 2, N 1.-P.51 - 82.
[5] Кирнасовський О.Ю. Деякі кількісні характеристики класів бінарних та n-арних лінійних ізотопів груп// ВісникВінницького політехнічного інституту.- 1997.- N 1.- С76 - 80.
[6] Sokhatsky F., Kirnasovsky O.U. Subquasigroups and Normal Congruences for Multiplace Group isotopes//International algebraic conference dedicated to the memory of professor L.M. Gluskin: Abstracts.-Slovyans'k, August 25 - 29, 1997.- P.40 - 41.
[7] Кирнасовський О.Ю. Про многовид всіх n-арних ізотопів груп// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ.Вінницького педін.- Вінниця, 1998.- С.19 - 21.
[8] Кирнасовський О.Ю. Приклади класів алгебр, замкнених відносно взаємного переходу до прямих добутків// Тезидопов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.- Вінниця, 1999.- С.18 - 20.
[9] Кирнасовський О.Ю. Деякі твердження, які описують групи автоморфізмів багатомісних лінійних ізотопів груп//Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.- Вінниця, 1996.- С.20.
[10] Кирнасовський О. Достатні умови для існування ізоморфізму між групами автоморфізмів групи та її багатомісноголінійного ізотопу// П'ята Міжнар. Наук. Конф. ім. академіка М. Кравчука: Тези допов.- Київ, 16 - 18травня 1996 р.- С.180.
[11] Кирнасовський О.Ю. Про ненульової парної арності лінійні ізотопи циклічних груп порядків, що є степенямидвійки// Шоста Міжнар. Наук. Конф. ім. академіка М. Кравчука: Тези допов.- Київ, 15 - 17 травня 1997 р.-С.195.
[12] Kirnasovsky O.U. Subalgebras of the Finite Multiplace Linear Cyclic Group Isotopes// International algebraicconference dedicated to the memory of professor L.M. Gluskin: Abstracts.- Slovyans'k, August 25 - 29,1997.- P.33.
[13] Кирнасовський О.Ю. Про деякі групи, кожна з яких є ізоморфною до групи автоморфізмів свого багатомісноголінійного ізотопу// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.- Вінниця,1998.- С.18 - 19.
[14] Кирнасовський О.Ю. Про ідемпотентні однорідні багатомісні ізотопи груп// Тези допов. звітної наук. конф.виклад. та студ. Вінницького педін.- Вінниця, 1999.- С.17 - 18.
[15] Кирнасовський О.Ю. Обчислення сорту багатомісного лінійного ізотопу групи лишків// Тези допов. звітної наук.конф. виклад. та студ. Вінницького педін.- Вінниця, 1999.- С.20 - 21.
[16] Kirnasovsky O.U. The Double and Triple Homogeneous Multiplace Group Isotopes// The second internationalalgebraic conference in Ukraine: Abstracts.- P. 25 - 26.
[17] Kirnasovsky O.U. The Homogeneous Multiplace Group Isotopes// Loops '99: Abstracts.- Praha, July 27 - August 1,1999.- P.16 -17.
[18] Kirnasovsky O.U. The up to Isomorphism Number of the Multiplace Linear Isotopes of a Cyclic Group// Conferenceon Universal Algebra and Lattice Theory: Abstracts.- Szeged, July 15 - 19, 1996.- P.27.
[19] Кирнасовський О.Ю. Кількості багатомісних лінійних групових ізотопів, що належать деяким класам// Тези допов.звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.- Вінниця, 1997.- С.63 - 64.
[20] Kirnasovsky O.U. The Numbers of some Special Finite Linear Cyclic Group Isotopes// International algebraicconference dedicated to the memory of professor L.M. Gluskin: Abstracts.- Slovyans'k, August 25 - 29,1997.- P.32.
[21] Кирнасовський О.Ю. Кількості лінійних ізотопів групи з "лівими" та "правими" властивостями// Тези допов.звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.- Вінниця, 1997.- С.64 - 65.
[22] Кирнасовський О.Ю. Критерії належності лінійного ізотопу групи до двох класів групоїдів, що є комутуваннямиодин одного// Тези допов. звітної наук. конф. виклад. та студ. Вінницького педін.- Вінниця, 1998.-С.22 - 23.

АНОТАЦІЇ
Кирнасовський О.Ю. Бінарні та n-арні ізотопи груп: Основні алгебричні поняття та кількісні характеристики.-Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06: "Алгебра татеорія чисел".- Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2000.
У дисертації описано гомоморфізми, підквазігрупи та нормальні конгруенції n-арних ізотопів груп, одержановрівноважені тотожності, що описують многовид усіх n-арних ізотопів груп та найважливіші його підмноговиди,описано групи автоморфізмів деяких n-арних групових ізотопів, одержано критерії однорідності такратної однорідності n-арних ізотопів груп, введено поняття роду для n-арного лінійного ізотопу скінченної циклічної групи,яке однозначно з точністю до ізоморфізму характеризує групу автоморфізмів, моноїд ендоморфізмів та верхнюнапіврешітку підквазігруп цього ізотопу групи, одержано цілу низку кількісних характеристик класів груповихізотопів.
Ключові слова: ізотоп групи, n-арний ізотоп групи, тотожність, врівноважена тотожність, група автоморфізмів,однорідність, кратна однорідність, кількісні характеристики.

Kirnasovsky O.U. The binary and n-ary group isotopes: Basic algebraic concepts and number characteristics.-Manuscript.
The dissertation for the candidate degree by the speciality 01.01.06: "Algebra and number theory".- Kyiv: Kyivnational Taras Shevchenko university, 2000.
The homomorphisms, subquasigroups and normal congruences of n-ary group isotopes are described, balanced identitieswhich describe the variety of all n-ary group isotopes and its the most important subvarieties areobtained, the automorphism groups of some n-ary group isotopes are described, criteria of homogenity andmultihomogenity of n-ary group isotopes are obtained. A concept of a kind for an n-ary linear isotope of afinite cyclic group is given. The kind characterizes the automorphism group, endomorphism monoid and upper semilattice ofsubquasigroups of the group isotope up to isomorphism. Some number characteristics of group isotope classes areobtained.
Key words: group isotope, n-ary group isotope, identity, balanced identity, automorphism group, homogenity,multihomogenity, number characteristics.

Кирнасовский О.Е. Бинарные и n-арные изотопы групп: Основные алгебраические понятия и количественныехарактеристики.- Рукопись.
Диссертация на соискание уч?ной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06: "Алгебра итеория чисел".- Кыйив: Кыйивский национальный университет имени Тараса Шевченка, 2000.
В работе исследованы основные алгебраические понятия и количественные характеристики бинарных и n-арных изотоповгрупп.
Описаны гомоморфизмы, подквазигруппы и нормальные конгруенции для n-арных изотопов групп; выведены для линейныхквазигрупп критерии принадлежности к наиболее употребительным классам квазигрупп; получены тождества (в томчисле уравновешенные), которые характеризуют многообразие всех n-арных (в частности, бинарных) изотопов групп инаиважнейшие его подмногообразия; выделены классы n-арных изотопов групп, для которых можно достаточно точноописать группы автоморфизмов, и сделано это описание; установлены критерии однородности и кратной однородностиn-арных изотопов групп; классифицированы конечные линейные изотопы циклических групп при помощичисловых инвариантов, которые характеризуют группы автоморфизмов, моноиды эндоморфизмов и тому подобное с точностью доизоморфизма; получены формулы нахождения количеств с точностью до изоморфизма линейных изотопов групп (вчастности, циклических) из разных известных классов квазигрупп, таких как IP-квазигруппы, моноквазигруппы,коммутативные, идемпотентные и тому подобное.
Основными результатами диссертации являются критерии транзитивности и дважды транзитивности группы автоморфизмов n-арного изотопа группы (теоремы 3.3.4 и 3.3.11), теорема 3.5.2 про инварианты циклических изотопов и теорема 4.4.2про количество всех неизоморфных циклических изотопов.
Доказано, что n-арный изотоп (Q;f) группы (Q;+), определ?нный тождеством, где, …, - унитарные подстановки этойгруппы, имеет транзитивную группу автоморфизмов в точности тогда, когда для каждого элемента существует такойавтоморфизм группы (Q;+), который удовлетворяет равенству, где обозначает сумму, а также элемент являетсяобразом элемента a при действии некоторого автоморфизма группы (Q;+), который коммутирует со всемиподстановками. Доказано, что при этом для |Q|>2 такая транзитивная группа автоморфизмов їявляется дважды транзитивной в точности тогда, когда такой изотоп группы является идемпотентным, а группа всех тех е? автоморфизмов, которые коммутируют со всеми подстановками является транзитивной на Q\{0}.
Доказано, что изотопы и группы, определ?нные тождествами, , где и - элементы кольца вычетов по модулю m, удовлетворяющие определ?нным равенствам, имеют изоморфные группы автоморфизмов, моноиды эндоморфизмов и верхние полуреш?тки подалгебр.
Полученные в диссертации результаты можно применить к дальнейшему изучению циклических изотопов, бинарных и n-арных изотопов групп, а также бинарных и n-арных квазигрупп. Построен значительный фундамент для детального описания сопутствующих алгебраических понятий для n-арных линейных изотопов конечных циклических групп, получен полигон для проверки большого класса гипотез теории квазигрупп, усовершенствована методика исследования этих объектов.
Ключевые слова: изотоп группы, n-арный изотоп группы, тождество, уравновешенное тождество, группа автоморфизмов, однородность, кратная однородность, количественные характеристики.