КОЛИВАННЯ І ДИСИПАТИВНИЙ РОЗІГРІВ В'ЯЗКОПРУЖНИХ ШАРУВАТИХ ТОНКОСТІННИХ П'ЄЗОЕЛЕМЕНТІВ » ДНН.су Дослідження Нової Науки - наукові роботи, дисертації, монографії, статті, реферати та автореферати українською мовою

Навігація

Друзья

Пошук

КОЛИВАННЯ І ДИСИПАТИВНИЙ РОЗІГРІВ В'ЯЗКОПРУЖНИХ ШАРУВАТИХ ТОНКОСТІННИХ П'ЄЗОЕЛЕМЕНТІВ

2 серпня 2009

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

КАРНАУХОВА ТЕТЯНА ВАСИЛІВНА

УДК 539.3

КОЛИВАННЯ І ДИСИПАТИВНИЙ РОЗІГРІВ
В'ЯЗКОПРУЖНИХ ШАРУВАТИХ ТОНКОСТІННИХ
П'ЄЗОЕЛЕМЕНТІВ

01.02.04 механіка деформівного твердого тіл

АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізикоматематичних наук

Київ 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Українському транспортному університеті, Міністерство освіти України

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Рассказов Олександр
Олегович, Український транспортний універси тет,завідувач кафедри теоретичної механіки та загальної фізики

Офіційні опоненти: доктор фізикоматематичних наук Григоренко Олек
сандр Ярославович, Інститут механіки ім. С.П.Тимо шенка НАНУ, провідний науковий співробітник

кандидат фізикоматематичних наук Мукоїд Віктор Петрович, Інститут підтримки експлуатації атомних електростанцій,керівник лабораторії

Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і математики
ім. Я.С. Підстригача НАН України

Захист відбудеться "__22__" березня 2000 p. о 16.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 приКиївському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:03127, Київ, проспект Глушкова,2, корпус7, механікоматематичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Автореферат розісланий "_18_" лютого 2000р.

Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Кепич Т.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Дисертаційна робота присвячена розробці моделей вимушених неосесиметричних коливань і дисипативного розігрівутонкостінних шаруватих п'єзоелектричних елементів; розробці чисельноаналітичних методів розв'язуваннякрайових задач, до яких приводять ці моделі; розв'язанню конкретних задач на основі розробленихмоделей і методів та виявленню основних закономірностей впливу дисипативного розігріву на механічний і тепловий стан такихелементів.
Актуальність теми. Тонкостінні шаруваті п'єзоелектричні елементи конструкцій у вигляді стержнів, пластин і оболонокрізноманітної конфігурації знаходять широке застосування в багатьох галузях науки й техніки: вмашинобудуванні, гідроакустиці, радіоелектроніці, обчислювальній техніці, дефектоскопії, в різноманітнихтехнологічних процесах і т. п. В останнє десятиріччя п'єзоелектричні елементи ефективновикористовуються для контролю коливань тонкостінних елементів з пасивних (без п'єзоефекту) металічних ікомпозитних матеріалів, при цьому одні шари (сенсори) з активних (з п'єзоефектом) матеріалів дають інформацію прорівень коливань конструкцій, а інші (актуатори) збуджують коливання необхідної амплітуди й фази длядемпфірування коливань конструкції в цілому. В зв'язку з цим різко зросло коло питань, пов'язаних з вивченням впливуп'єзокомпонентів на механічну поведінку тонкостінних елементів. Одним із основних режимів роботи цихелементів при їх застосуванні на практиці є гармонічний і, як окремий випадок, резонансний режим. При цьому внаслідок такихспецифічних особливостей багатьох активних і пасивних матеріалів, як значні гістерезисні втрати й низькатеплопровідність, залежність їх властивостей від температури, механічні й електричні коливаннясупроводжуються, як правило, значним підвищенням температури через розсіювання електромеханічної енергії втеплову, тобто спостерігається явище дисипативного розігріву. Це явище негативно впливає на ефективність роботитонкостінних елементів з декількох причин. Поперше, внаслідок залежності електромеханічних характеристикматеріалу від температури може мати місце зсув резонансної частоти, в результаті чого падаєінтенсивність випромінювання акустичної енергії, якщо п'єзоелемент розрахований на випромінювання енергії врезонансному режимі. Подруге, при досягненні температурою точки Кюрі активний матеріал стає пасивним, тобтовтрачає своє функціональне призначення. Потретє, при порушенні балансу між дисипативним розігрівом і втратамитепла внаслідок теплообміну з зовнішнім середовищем як в активних, так і в пасивних елементах може матимісце так званий тепловий пробій, коли спостерігається катастрофічне зростання температури і стаціонарнийтепловий стан взагалі відсутній. Почетверте, ізза неоднорідності температури дисипативного розігрівув елементах можуть виникнути значні температурні напруження, що може привести до їх механічного руйнування. Поряд зпотребами техніки, необхідність у вивченні впливу дисипативного розігріву на коливальні процеси в тонкостіннихелементах диктується і внутрішньою логікою розвитку термомеханіки, бо це дозволяє вивчити більш широкеколо явищ в них, дослідити вплив дисипативного розігріву на їхній електромеханічний і тепловий стан, датиоцінку меж застосування постановок задач, в яких розігрів не враховується. Неосесиметричні коливаннятонкостінних елементів досить широко розповсюджені на практиці. Неосесиметричність може бути викликана якгеометрією елемента (наприклад, це може бути циліндрична або конічна панель), так і характером електромеханічногонавантаження. На практиці при контролі коливань конструкцій широко розповсюджене нанесення напасивні тонкостінні елементи п'єзоелектричних шарів по деякій його площі, що також викликає неосесиметричнийстан. При врахуванні дисипації, породженої нею температури розігріву й температурної залежності електромеханічниххарактеристик дослідження термомеханічних коливань зводиться до складних нелінійних крайовихзадач. Їх розв'язання можна одержати лише чисельними методами. Проведений дисертантом аналіз публікацій з цих питаньсвідчить, що в літературі не розглядались неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів тонкостіннихп'єзоелементів. Із сказаного випливає, що тема дисертаційної роботи є актуальною.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано згідно до комплексної теми "Розробкаоснов прикладної теорії та методів розрахунку багатошарових конструкцій складної геометрії", якавиконувалась в Українському транспортному університеті згідно до Координаційного плану досліджень НАН України, атакож згідно до теми "Числове дослідження процесів деформування багатошарових елементів конструкцій та споруд, яківзаємодіють з неоднорідними середовищами, при статичних, динамічних і температурних навантаженнях" за планомдосліджень Міністерства освіти України.
Мета й задачі дослідження полягають у розробці моделей неосесиметричних коливань шаруватих тонкостіннихп'єзоелектричних елементів з врахуванням дисипації і породженого нею дисипативного розігріву; розробціефективних чисельноаналітичних методів розв'язання лінійних і нелінійних крайових задач, що виникають призастосуванні цих моделей; розв'язанні на основі розроблених моделей і методів конкретних задач і виявленніосновних закономірностей впливу дисипативного розігріву на неосесиметричний механічний і тепловий станвказаних елементів.
Наукова новизна результатів. Основні результати роботи стосуються квазістатичних і динамічних задач пронеосесиметричні коливання і дисипативний розігрів шаруватих тонкостінних п'єзоелектричних елементів зврахуванням дисипативних електромеханічних властивостей матеріалу, породженого дисипацією вібророзігріву й залежностіхарактеристик матеріалу від температури. Наукова новизна полягає у постановках таких задач, розробцічисельноаналітичних методів їх розв'язування, в отриманих конкретних результатах про вплив вищезгаданихфакторів на термомеханічний стан п'єзоелементів. У роботі: 1) вперше розроблено ефективний чисельноаналітичний метод розв'язування задач про неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів шаруватихп'єзоелектричних тонкостінних елементів у вигляді пластин і оболонок, в основі якого лежатьітераційні процедури лінеаризації відповідних нелінійних крайових задач із застосуванням скінченно елементного методу (СЕМ)для розв'язування лінійних крайових задач, що виникають на кожній ітерації; 2) для випадку, коли характеристикиматеріалу не залежать від температури, вперше одержано точні аналітичні розв'язки задач прорезонансні коливання і дисипативний розігрів прямокутної п'єзопластини й циліндричної п'єзоелектричної панелі з шарнірнозакріпленими торцями; ці розв'язки мають як самостійне значення, так є й еталонними для оцінки ефективностіта достовірності результатів, одержаних чисельними методами; 3) вперше дано постановку задач протепловий пробій п'єзоелектричних тонкостінних елементів і одержані розв'язки ряду конкретних задач в рамкахтакої постановки ; 4) вперше досліджено вплив часткової теплової деполяризації на термомеханічний стан п'єзоелектричнихтонкостінних елементів; 5) вивчено вплив дисипативного розігріву, характеру навантаження, граничнихумов, структурної неоднорідності тощо на електромеханічний і тепловий стан тонкостінних п'єзоелементів.
Теоретичне й практичне значення одержаних результатів полягає в розширенні кола питань термоелектромеханікитонкостінних елементів при їх гармонічному навантаженні; в можливості їх застосування дляоцінки впливу вібророзігріву на ефективність роботи п'єзоелементів при їх проектуванні та експлуатації; в дослідженнінових ефектів, що породжуються вібророзігрівом; в можливості використання розроблених програм для розрахунківелектромеханічного й теплового стану п'єзоелементів взагалі й для контролю коливань тонкостіннихелементів, зокрема. Частина результатів використана при виконанні робіт за вищезгаданими державнимитемами, а також у навчальному процесі в Українському транспортному університеті.
Особистий внесок здобувача: За темою дисертації опубліковано 6 наукових праць [ 1 6], в тому числі: 4 внаукових журналах, 2 в збірниках праць. Основні результати було отримано автором самостійно. В той же час роботи [2, 46]опубліковані в співавторстві. При виконанні [2] В.І.Козлов надавав консультації при розробці СЕМ і розв'язавстаціонарну задачу про згин циліндричної панелі під дією власної ваги. Здобувачу належить розробка моделейшаруватих п'єзооболонок, реалізація з використанням СЕМ ітераційних процедур і вивчення впливу різнихфакторів на електромеханічний і тепловий стан п'єзооболонок. В [4] дисертант застосувала розробленіспівавторами програми розв'язання задач про осесиметричні коливання і дисипативний розігрів оболонокобертання і з їх використанням дослідила вплив теплової деполяризації на термоелектромеханічний станкільцевої п'єзопластини. В [5] співавтор приймав участь у постановці задачі й обговоренні результатів, а їїрозв'язок здобувач одержала самостійно В [6] О.О. Рассказову належить ідея можливості побудови точного розв'язкудля шаруватої п'єзооболонки, а В.І.Козлов надавав консультації з реалізації СЕМ і провів аналітичнедослідження на максимум температури розігріву. Аналітичний розв'язок задачі в усьому діапазоні частот і,зокрема, для резонансної частоти , а також розв'язок задачі СЕМ належить здобувачу.
Апробація результатів дисертації. Окремі результати досліджень за темою дисертації доповідались на науковихконференціях професорськовикладацького складу Українського транспортного університету (1997 1999 рр.);на міжнародній конференції "Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь та математичної фізики", присвяченій 80річчюакадеміка Ю.О.Митропольського ( Нальчик. 2.06. 6.06.1997 р.); на міжнародній конференції " Сучасні проблемимеханіки й математики", присвяченій 70річчю від дня народження академіка НАН України Я.С.Підстригача(Львів, 2528. 05. 1998р.); на міжнародній конференції "Dynamic systems modelling and stability investigation"(Kyiv, 2529.05.1999). Дисертаційна робота в цілому обговорювалась на науковому міжкафедральномусемінарі Українського транспортного університету, науковому семінарі "Проблеми механіки" прикафедрі теоретичної і прикладної механіки, а також на засіданні кафедри механіки суцільних середовищ механікоматематичногофакультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (1999 р.).
Публікації. Основні результати дисертації викладено в 6 наукових працях.
Розмір і структура роботи. Дисертаційна робота складається із вступу; 5 розділів, висновків та списку використаноїлітератури. Вона містить 181 сторінку машинописного тексту. Ілюстрації займають 28 сторінок (40ілюстрацій), таблиці 6 сторінок (6 таблиць). Бібліографія розташована на 7 сторінках і складається з 78джерел.
Автор вдячний своєму науковому керівникові доктору технічних наук, професору О.О.Рассказову за постійну увагу дороботи, а також доктору фізикоматематичних наук В.І.Козлову за наукові консультації з реалізації скінченноелементного методу.

ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі подається загальна характеристика роботи: розкривається сучасний стан досліджень, пов'язаних з проблемоюнеосесиметричних коливань і дисипативного розігріву шаруватих п'єзоелектричних пластин і оболонок;обгрунтовується необхідність проведення наукового пошуку з цих питань; відзначається актуальність темидисертації; формулюється мета роботи та її наукова новизна; обгрунтовується теоретичне й прикладне значенняроботи; вказується на публікації автора за темою дисертації і розкривається особистий внесок авторадисертації в роботах, опублікованих разом із співавторами; наводяться дані про зв'язок дисертаційної роботи знауковими темами, що виконуються в установі здобувача, а також дані про апробацію дисертації.
В першому розділі подано огляд публікацій вітчизняних і зарубіжних вчених, присвячених моделюванню коливань ідисипативного розігріву тонкостінних п'єзоелементів, і шляхом критичного аналізу одержаних результатів вибираютьсянапрямки досліджень. Механіка й термомеханіка тонкостінних елементів є однією з найбільш розвинутихгалузей механіки деформівного твердого тіла. Але більшість робіт у цій галузі одержано, поперше, дляпружних матеріалів, а подруге, без врахування взаємодії полів різної фізичної природи. Основні результати зрозробки моделей тонкостінних елементів, методів розв'язування відповідних крайових задач і розв'язків конкретнихкласів квазістатичних і динамічних задач представлені у відомих монографіях С.О. Амбарцумяна, В.В.Болотіна і Ю.М.Новічкова, О.Л. Гольденвейзера, Я.М. Григоренка і А.Т.Василенка, О.О.Рассказова,І.І.Соколовської, М.О.Шульги, в багатотомних узагальнюючих виданнях під загальною редакцієюО.М.Гузя, присвячених методам розрахунку оболонок, механіці композитних матеріалів і елементів конструкцій, а також вбагатьох збірниках і працях конференцій з теорії пластин та оболонок. Проте внутрішня логіка розвитку механіки й потребипрактики привели до необхідності розробки моделей коливань тонкостінних п'єзоелементів з врахуваннямвзаємодії механічних, електричних і теплових полів. Ці питання особливо важливі для таких елементів, якіпрацюють в резонансному режимі й матеріали яких мають значні гістерезисні втрати, наприклад, полімерні пасивні йп'єзоактивні матеріали, що знайшли широке застосування на практиці, зокрема, при контролі коливань тонкостіннихелементів. Вже в першій фундаментальній роботі Д.Берлінкура, Д.Керрана, Г.Жаффе з електромеханікип'єзоелементів відмічалось, що одним з основних обмежень на рівень електричних навантажень ітривалість гармонічних коливань цих елементів є їх дисипативний розігрів. Про явища, які можуть мати місце приврахування розігріву, йшлося вище. Основні досягнення з розробки моделей пасивних і п'єзоактивних матеріалів длямоногармонічних процесів з врахуванням взаємодії механічних, електричних і теплових процесів пов'язані зроботами В.Г.Карнаухова, І.Ф.Киричка, І.К.Сенченкова, В.В.Михайленка й ін.
Перші фундаментальні результати з електромеханіки тонкостінних пружних елементів одержано в роботах В.Т.Грінченка,А.Ф.Улітка та їх учнів. В них на основі аналізу розв'язків елементарних задач класичні гіпотезиКірхгофаЛява були доповнені адекватними їм гіпотезами для електричних польових величин і на основі цихузагальнених гіпотез були побудовані моделі одношарових тонкостінних п'єзопластин і оболонок, в тому числі ймоделі коливань таких елементів. В роботах І.Ю.Хоми з використанням розкладу польових величин за поліномамиЛежандра по товщині було розроблено моделі пружних анізотропних п'єзооболонок. Моделі пружних шаруватихп'єзооболонок з використанням класичних гіпотез Кірхгофа Лява й уточнених гіпотез типу Тимошенка булопобудовано в роботах Б.О.Кудрявцева, В.З.Партона, Н.Д.Сеніка, Ю.Б.Євсейчика, С.І.Рудницького, М.О.Шульги й ін.Перші результати з розробки моделей коливань і дисипативного розігріву тонкостінних п'єзоелементів, в тому числій шаруватих були одержані в роботах В.Г.Карнаухова й І.Ф.Киричка й представлені в їх монографіях. Проте в цихроботах розглядалась така структурна неоднорідність, коли пакети п'єзоактивних шарів розділялись металічнимшаром, при цьому дисипативний розігрів в останніх не був врахований. Але в зв'язку з застосуваннямактивних п'єзоелементів для контролю коливань тонкостінних елементів з пасивних металічних ікомпозитних матеріалів виникла потреба в розробці моделей шаруватих елементів такої структури, коли вонискладені з пакетів активних і пасивних шарів як з ізотропних, так і з анізотропних дисипативнихматеріалів. При цьому дисипативний розігрів може мати місце і в активних, і в пасивних шарах. У вищезгаданих роботахВ.Г.Карнаухова та І.Ф. Киричка було запропоновано ітераційні методи розв'язування нелінійних задач проосесиметричні коливання і дисипативний розігрів п'єзоактивних пластин і оболонок з використанням методудискретної ортогоналізації для розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь, які виникають накожній ітерації. Неосесиметричні задачі про коливання і дисипативний розігрів п'єзоелектричних пластин і оболонокзводяться до складних нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних і на сьогоднішній день влітературі не розглядались. В даній дисертації дається таке узагальнення згаданих вище ітераційних методів, колидля розв'язування систем лінійних диференціальних рівнянь на кожній ітерації використовується скінченоелементний метод. Для оцінки ефективності й точності чисельних методів необхідно мати еталонні аналітичні розв'язкипро неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів п'єзоелектричних пластин та оболонок. Такі розв'язкив літературі також відсутні. У згаданих вище роботах В.Г.Карнаухова та І.Ф. Киричка досліджувався впливспряженості полів на амплітудно та температурночастотні характеристики термомеханічних осесиметричнихколивань. Проте в цих роботах вважалось, що температура дисипативного розігріву не досягає точкиКюрі, коли має місце теплова деполяризація п'єзоактивного матеріалу і він стає пасивним. В літературі виконано поодинокіроботи з цього питання і відсутні роботи по вивченню впливу теплової деполяризації на електромеханічний ітепловий стан тонкостінних п'єзоелементів при їх неосесиметричних коливаннях. Відсутні в літературі і публікації зтеплового пробою активних п'єзоелектриків взагалі і тонкостінних п'єзоелементів зокрема. Це явище для пасивнихдіелектриків детально вивчено в класичних роботах В.О. Фока, М.М.Семенова, а результати цих дослідженьпредставлено у відомій монографії Г.Н.Сканаві.
В другому розділі наведено основні співвідношення термоелектромеханіки дисипативних фізично лінійних тіл длямоногармонічних процесів. Для моделювання таких процесів використовуються універсальні співвідношення механіки йелектростатики рівняння руху, кінематичні співвідношення, рівняння електростатики, механічні, електричні йтеплові граничні умови, початкові умови для температури. Для моделювання електромеханічної поведінки дисипативнихматеріалів використовується концепція комплексних характеристик. При цьому рівняння стану для пасивнихі п'єзоактивних матеріалів мають такий же вигляд, як і рівняння стану для пружних матеріалів з заміною всіх польовихвеличин і характеристик на комплексні. Вважається, що дійсні й уявні частини комплексних характеристикзалежать від температури. Рівняння енергії має вигляд
(1) температура, тензор теплопровідності, теплоємність, крапка означає похідну за часом, а кома похіднупо координаті. Дисипативна функція в (1) визначається рівнянням стану
(2) Тут дійсні й уявні частини тензора деформацій, напружень, напруженості електричного поля та індукції, частотанавантаження. Дисипативна функція для пасивного матеріалу визначається співвідношенням (2), в якому слідопустити електричні величини.
Основні співвідношення для шаруватих поляризованих по товщині тонкостінних п'єзоелектричних оболонок одержаношляхом прийняття гіпотез відносно розподілу по товщині польових величин. В роботі розглядаються лише такі моделі, якібудуються на основі класичних механічних гіпотез КірхгофаЛява, доповнених гіпотезами про польові електричнівеличини, які запропонував А.Ф.Улітко. Пасивні шари вважаються ортотропними. В результаті рівняння станудля зусиль і моментів ,мають вигляд
(3) Тут характеристики жорсткості є сумою характеристик жорсткості пасивних і активних шарів, а виражаються черезхарактеристики матеріалів і задані на електродах потенціали. Для одержання двовимірних рівнянь енергіїприймається гіпотеза, що нормальна складова теплового потоку змінюється по товщині по заданому , наприклад,поліноміальному закону
(4) Розподіл температури по товщині визначається шляхом інтегрування (4) по товщинній координаті , при цьому
(5) Рівняння для , одержуються з варіаційного принципу та методом моментів. Найпростіше рівняння енергії має місце,коли тобто коли температура стала по товщині оболонки. В цьому ж розділі, як окремий випадок, представленівизначальні рівняння для тришарової оболонки, яка складається з середнього пакету пасивних шарів іприєднаних до нього активних пакетів. Розглянуто випадки, коли середній пакет є ортотропним металічним абодіелектричним (наприклад, композитним на полімерній основі), а також різні варіанти розміщення нескінченнотонких електродів на поверхнях контакту пакетів. Як окремий випадок, з одержаних співвідношень маємо рівняння стану длядвохшарової, в тому числі й біморфної пластини або оболонки. В третьому розділі представлено розроблені в дисертації методи розв'язування нелінійних комплексних системдиференціальних рівнянь в частинних похідних, які описують вимушені моногармонічні коливання і дисипативнийрозігрів шаруватих тонкостінних оболонок обертання. Для цього подано варіаційне формулювання зад чіелектромеханіки для таких оболонок із застосуванням рівнянь Лагранжа
(6) де деякі функціонали, одержані з використанням варіаційних тривимірних рівнянь електромеханіки післяінтегрування по товщині оболонки і врахуванням гіпотез КірхгофаЛява, доповнених згаданими вище гіпотезамивідносно напруженості електричного поля й індукції. Вони мають громіздкий вигляд і тут не наводяться. Приврахуванні залежності властивостей від температури електромеханічні характеристики розраховуються дляусереднених по шарах значень температури, що дозволяє провести аналітичне інтегрування по товщині оболонки. Розв'язокваріаційної задачі знаходиться скінченноелементним методом з використанням дванадцятивузловихізопараметричних елементів. Прогин в межах елемента апроксимується поліномами Ерміта в місцевій системікоординат. Тангенціальні складові зміщень і геометрія оболонки в межах елемента апроксимуються кубічнимиполіномами в цій системі. Як глобальна система координат, в якій об'єднуються всі скінченні елементи,використовується ортогональна система координат З умови стаціонарності (6) одержи о комплексну лінійнусистему алгебраїчних рівнянь відносно амплітуд зміщень і їх похідних. Її розв'язок знаходиться методомГаусса. Потім знаходяться компоненти тензора деформацій і напружень, вектора індукції і напруженостіелектричного поля, дисипативна функція. Температура дисипативного розігріву буде досягати максимальногорівня при коливаннях на резонансних частотах. Для їх знаходження необхідно розв'язати узагальненузадачу на власні значення для пружної п'єзоелектричної оболонки
(7) де і відповідно матриці жорсткості й мас. Алгоритм розв'язку базується на розрахунку знаку визначника
(8) і методі половинного ділення інтервалу, в якому знаходиться власне число. Реалізовано також алгоритм знаходженнярезонансних частот за допомогою задачі про вимушені коливання електропружної задачі, при цьому одночаснознаходяться резонансні частоти і форми коливань. Для дослідження ефективності й точності скінченоелементного методу при розв'язуванні задач електромеханіки розглянуто ряд тестових задач: 1) задача про згинізотропної кругової замкнутої циліндричної оболонки з вільними торцями, що знаходиться під дієюсамоврівноваженої системи двох діаметрально розміщених зосереджених сил; 2) задача про неосесиметричні вільніколивання нескінченної замкнутої циліндричної оболонки; 3) задача про вільні коливання замкнутої ортотропноїконічної оболонки з жорстко закріпленими торцями. Ці задачі мають точні аналітичні розв'язки. Порівняннярезультатів розрахунків з використанням аналітичних і скінченноелементних розв'язків показало високуточність розробленого варіанту останнього. В цьому ж розділі дано варіаційну постановку задачітеплопровідності для шаруватих оболонок обертання з відомим джерелом тепла й умовами конвективноготеплообміну з зовнішнім середовищем. Двовимірна задача, одержана описаним в другому розділі методом, розв'язується на тій жесітці скінчених елементів, що і задача електромеханіки. При цьому коефіцієнти (m= 0,1,2,3.4,5) в представленнітемператури поліномом 5ї степені , температура зовнішнього середовища, початкова температура,коефіцієнти теплопровідності, а також потужність теплових джерел в межах кожного елементуапроксимувались поліномами 3ї степені, які використано в задачі електромеханіки. Аналогічно довищевказаного одержано систему 6N (N кількість вузлових точок) лінійних диференціальних рівнянь першого порядкуза часом відносно вузлових значень з відповідними початковими умовами. Для її розв'язання використовувавсяскінченнорізницевий метод Кренка Нікольсена, який є неявним безумовно стійким методом другогопорядку точності. Реалізована також неявна скінченорізницева схема першого порядку точності. Розв'язоксистеми лінійних алгебраїчних рівнянь для кожного кроку за часом знаходився методом Гаусса. Длядослідження ефективності розробленої методики визначення температурних полів в тонкостінних елементах розглянуто задачутеплопровідності для ізотропної квадратної пластини, яка нагрівається в результаті конвективного теплообмінуз зовнішнім середовищем постійної температури Нижня поверхня пластини і її торці вважались теплоізольованими.Початкова температура Така задача має аналітичний розв'язок. Порівняння результатів, одержаниханалітичним і скінченоелементним методом, показало високу точність останнього. В завершення в цьомурозділі описані ітераційнi методи розв'язування задач про вимушені неосесиметричні коливання і дисипативнийрозігрів шаруватих п'єзооболонок обертання кроковий за часом метод, метод змінних параметрів та йогомодифікація метод Стефенсена Ейткена. Кожен з цих методів зводить розв'язок вихідної нелінійної системидиференціальних рівнянь до розв'язування на кожній ітерації лінійних задач електромеханіки, розрахункудисипативної функції та розв'язування лінійного рівняння теплопровідності з відомим джерелом тепла, тобтодо задач, описаних і апробованих у попередніх підрозділах третього розділу.
В четвертому розділі представлені точні розв'язки квазістатичних і динамічних задач про вимушені коливання ідисипативний розігрів пластин та оболонок канонічної форми. Розглянуто прямокутну біморфну пластину з шарнірнозакріпленими торцями. Електромеханічні властивості матеріалу вважаються незалежними від температури аж доточки Кюрі. В цьому випадку спочатку потрібно розв'язати задачу електромеханіки, яка описується граничною задачею
(9) де комплексна жорсткість і виражаються через електромеханічні характеристики матеріалу. Ця крайова задачарозв'язується шляхом представлення прогину сумою квазістатичної і динамічної складових, кожна з якихзнаходиться методом Фур'є . Після цього знаходиться дисипативна функція і розв'язується рівняннятеплопровідності з відомим джерелом тепла. При цьому вважається, що температура постійна по товщині ізнаходиться з рівняння
(10) при відповідних граничних і початкових умовах. В (10) усереднена по товщині дисипативна функція визначається виразом
(11) де уявна частина комплексної згинної жорсткості, додатня уявна частина діелектричної проникливості,
Максимальна температура дисипативного розігріву буде мати місце на першій резонансній частоті. Розв'язок задачідля пластинки з теплоізольованими торцями на цій частоті має вигляд
(12) де коефіцієнти залежать від геометричних розмірів пластини, умов її навантаження і теплообміну, електромеханічнихі теплофізичних характеристик матеріалу. Вважаючи, що при досягненні температурою точки Кюріп'єзоелемент втрачає своє функціональне призначення, одержимо критичне значення електричного навантаженняОдержаний точний аналітичний розв'язок має самостійне значення при розрахунках температуридисипативного розігріву біморфних пластин і може бути еталоном при розробці чисельних методів розв'язування даного класу задач.Аналогічні результати одержані для біморфної циліндричної панелі, при цьому використовувалась технічна теоріяоболонок. Ці задачі розв'язано також із застосуванням описаних в третьому розділі ітераційних методів іскінченноелементного методу. Проведено порівняння результатів розрахунків з використанням аналітичного іскінченноелементного методів, яке показало високу точність останнього. В цьому ж розділі представлено точніаналітичні розв'язки квазістатичних задач про формування областей теплової деполяризації в п'єзоелектричнихелементах, пов'язане з досягненням температурою дисипативного розігріву точки Кюрі, колип'єзоматеріал втрачає п'єзоефект і стає пасивним, при цьому п'єзоелектричний коефіцієнт прирівнюється нулеві.Одержані розв'язки задач про поширення фронту деполяризації в залежності від величини електричногонавантаження в шарі, циліндрі, кільцевій пластині. Остання задача розглядалась як в квазістатичній, такі в динамічній постановках, при цьому враховувалась і залежність властивостей матеріалу від температури.Досліджено вплив умов теплообміну, сил інерції, залежності властивостей матеріалу від температури нарозміри областей деполяризації. Розв'язано також важливу для практики задачу про вплив теплової деполяризації навимушені коливання тонких замкнутих сферичної і нескінченно довгої циліндричної п'єзооболонок, які знаходяться вакустичному середовищі. Вивчено вплив на критичне значення параметра навантаження акустичного середовища тазалежності властивостей матеріалу від температури. В кінці цього розділу представлені розв'язки задач протепловий пробій п'єзоелектричного шару, біморфних прямокутної пластини й циліндричної панелі. Всі ці задачі зведено довизначення мінімального власного числа деякої задачі на власні числа. Одержано прості формули для критичнихзначень параметра електричного навантаження, після досягнення якого має місце тепловий пробій вказанихелементів.
В п'ятому розділі досліджено спільний вплив дисипації, вібророзігріву й залежності властивостей матеріалів на такіхарактеристики термоелектромеханічних коливань, як амплітудно й температурночастотні характеристики,залежність коефіцієнта затухання та коефіцієнта електромеханічного зв'язку від частоти. Коефіцієнтзатухання вводиться, як відношення дисипованої за період електромеханічної енергії до подвоєної середньоїза період накопиченої електромеханічної енергії. Загальна теорія коефіцієнта електромеханічного зв'язкурозроблена в роботах А.Ф.Улітка і квадрат цього коефіцієнта вводиться , як відношення здатної до оберненнянакопиченої на даній деформації в об'ємі п'єзоелектричного тіла електричної (механічної) енергії допідведеної ззовні до тіла механічної (електричної) енергії. З використанням гіпотез КірхгофаЛява й А.Ф.Уліткаодержано спрощені вирази для цих коефіцієнтів. З використанням описаних у другому й третьому розділахмоделей і методів розв'язано конкретні задачі для біморфних і тришарових прямокутних пластин і циліндричнихпанелей. П'єзоелектричні шари виготовлено з п'єзокераміки ,залежність властивостей якої відтемператури вивчена в роботах М.О.Шульги й О.М.Болкісева. Біморфні п'єзоелементи виготовлено з п'єзоелектричних шарів однаковоїтовщини з протилежними напрямками поляризації. В тришарових елементах середній пасивний шар зі сталі межуєз двома п'єзошарами з протилежними напрямками поляризації. На зовнішніх поверхнях п'єзоелементів має місцеконвективний теплообмін за законом Ньютона, а їх торці теплоізольовані й на них нанесені нескінченно тонкіелектроди, до яких підводиться гармонічна за часом різниця потенціалів. Розрахунки проведені для різних рівнівелектричного навантаження. Як і для представлених вище результатів розв'язання більш простих задач, графікичастотних залежності амплітуд коливань, температури вібророзігріву, коефіцієнтів затухання йелектромеханічного зв'язку є типовими для нелінійних коливань, хоча співвідношення між напруженнями, індукцією йдеформаціями й напруженістю електричного поля є лінійними. При низьких рівнях навантаження характерна відсутністьчастотних областей неоднозначності вказаних характеристик. Зі збільшенням електричного навантаження такіобласті з'являються, так що при русі по нижній вітці в бік збільшення частоти при деякому її значенніспостерігається стрибок на верхню вітку й при подальшому збільшені частоти має місце рух по верхній вітці.При русі по верхній вітці в сторону зменшення частоти спостерігається стрибок на нижню вітку з подальшимрухом по ній при зменшенні частоти. При подальшому збільшенні навантаження з'являються частотні області з різким спадомхарактеристик перед стрибком на нижню вітку. Можлива також поява додаткових високотемпературних віток, як цевідмічалось при дослідженні коливань кільцевої пластини й сферичної оболонки. Поява таких частотних областейпояснюється різкою зміною властивостей матеріалі з температурою при наближенні до точки Кюрі. На рис. 1 4показано типові криві зміни з частотою в околі першого резонансу амплітуди поперечного зміщення температуривібророзігріву коефіцієнтів затухання і електромеханічного зв'язку при різниці потенціалів В,підведеної до нанесених на зовнішні поверхні нескінченно тонких електродів, для циліндричної біморфної панелідовжиною L = 0,01м, радіусом R =0,01м, товщиною = 0,001м, кутом розхилу Суцільні лінії відповідаютьрезультатам розрахунків з врахуванням залежності властивостей від температури, штрихові незалежним.
У висновках сформульовано основні результати досліджень.

ВИСНОВКИ
1. На основі концепції комплексних характеристик, гіпотез КірхгофаЛява про розподіл механічних польових величин потовщині оболонки, адекватних їм гіпотез відносно електричних польових величин і гіпотези про поліноміальнийрозподіл нормальної компоненти вектора теплового потоку по товщині одержано рівняння стану длякомплексних зусиль, моментів, електричної індукції і дисипативних функцій. З використанням цих рівнянь і рівняньруху, кінематичних співвідношень та рівняння енергії здійснено постановку нелінійної крайової задачі, якаописує неосесиметричні коливання і дисипативний розігрів шаруватих п'єзоелектричних пластин і оболонок,складених з пасивних і п'єзоактивних дисипативних шарів, з врахуванням спряженності електромеханічних і теплових полів тазалежності властивостей матеріалів від температури.
2. Розроблено ефективну методику розв'язування вищевказаної нелінійної крайової задачі, яка базується наітераційних методах і скінченоелементному методі розв'язування лінійних крайових задач для диференціальних рівнянь в частиннихпохідних на кожній ітерації.
3. Для випадку, коли властивості матеріалу не залежать від температури, одержано точні аналітичні розв'язки задачпро коливання і дисипативний розігрів біморфних прямокутної пластини й циліндричної панелі з шарнірнозакріпленими торцями. Крім самостійного значення , такі розв'язки є еталонними при оцінці ефективностічисельних методів. Проведено порівняння результатів розрахунків, одержаних за допомогою скінченноелементного методу й аналітичних розв'язків, яке свідчить про високу точність і ефективність розробленої методики.За умови, що досягнення температурою вібророзігріву точки Кюрі не допускається, одержано прості формулидля критичного значення параметра електричного навантаження біморфних пластин і циліндричних панелей, після досягненняякого має місце втрата елементом свого функціонального призначення.
4. Одержано точні аналітичні розв'язки задач про квазістатичні коливання і дисипативний розігрів шару,нескінченного порожнистого циліндра й кільцевої пластини з врахуванням часткової теплової деполяризації. Одержано трансцендентнірівняння, розв'язок яких дає залежність розмірів деполяризованої області від прикладеної різниціпотенціалів. Задачу для кільцевої пластинки розв'язано також в динамічній постановці з врахуваннямзалежності властивостей матеріалу від температури й часткової теплової деполяризації, при цьому виявлено як кількісний, так іякісний вплив сил інерції і теплової деполяризації на амплітудно й температурночастотні характеристики.
5. Одержано розв'язок динамічної задачі про коливання і дисипативний розігрів нескінченної циліндричної і сферичноїп'єзооболонок, що знаходяться в акустичному середовищі, з врахуванням залежності властивостей матеріалувід температури й теплової деполяризації. Проведено чисельне дослідження впливу сил інерції, акустичного середовища,залежності властивостей від температури й теплової деполяризації на їх електромеханічний і тепловийстан.
6. Поставлено й розв'язано задачу про тепловий пробій шару, біморфних прямокутної пластини й циліндричної панелі.Визначення критичного значення параметра навантаження, після досягнення якого має місце лавиноподібненаростання температури (тепловий пробій), зведено до розв'язання задачі на мінімальне власне число длядеякого диференціального рівняння другого порядку в частинних похідних. Це дозволило одержати прості формули длякритичного значення параметра електричного навантаження.
7. З використанням описаного вище підходу до розв'язування нелінійних крайових задач на основі ітераційних методіві скінченноелементного методу, одержано розв'язки задач про коливання і дисипативний розігрів біморфних і тришаровихпрямокутних пластинок і циліндричних панелей. На основі чисельних розрахунків показано, що, починаючи здеякого рівня електричного навантаження, амплітудно й температурночастотні характеристики коливань, частотнізалежності коефіцієнтів затухання і коефіцієнтів електромеханічного зв'язку в околі резонансу мають типовийдля нелінійних динамічних систем вигляд, незважаючи на те, що при постановці задачі використовуються лінійнірівняння стану для механічних і електричних польових величин.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ
Основний зміст дисертації відображено в таких публікаціях:
1. Карнаухова Т.В. Тепловой пробой пьезоэлектрического слоя при гармоническом электрическом нагружении//Нелинейныекраевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев:Интматематики НАН Украины. 1996. С.130132.
2. Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Математическое моделирование неосесимме тричных колебаний и диссипативногоразогрева поляризованных по толщине слоистых вязко упругих пьезоэлектрических оболочек вращения//Нелиней ные проблемы дифферен циальных уравнений и математической физики. Сб. научных трудовмеждународной конференции, посвященной 80летию акаде мика Ю.А. Митропольского ( Нальчик, 26 июня 1997г.).Киев: Инт математики НАН Украины. 1997. С. 151154.
3. Карнаухова Т.В. Тепловая деполяризация пьезоэлектрического слоя при гармоническом квазистатическом электрическомнагружении//Прикл. механика. 1998. 34, 4. С. 8184.
4. Киричок И.Ф., Карнаухова Т.В., Венгренюк Ю.А. О влиянии тепловой деполяриззации на термоэлектромеханическоеповедение кольцевой пластины из вязкоупругого пьезоматериала при гармоническом нагружении//Прикл. механика. 1998. 34,6. С. 8591.
5. Киричок И.Ф., Карнаухова Т.В. Квазистатическая задача термовязкоупругости частично деполяризованногопьезоэлектрического цилиндра при гармоническом нагружении//Прикл. механика. 1999. 35, 3. С.42 48.
6. Рассказов А.О., Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Поперечные колебания и виброразогрев прямоугольной биморфнойпластины из диссипативного пьезоматериала// Прикл. механика. 1999. 35, 9. С. 8593.

АНОТАЦІЇ
Карнаухова Т.В. Коливання і дисипативний розігрів в'язкопружних шаруватих тонкостінних п'єзоелементів. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізикоматематичних наук за спеціальністю 01.02.04 механікадеформівного твердого тіла. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.
В дисертації на основі концепції комплексних характеристик з використанням гіпотез Кірхгофа Лява й адекватних їмгіпотез про розподіл по товщині електричних польових величин й температури побудовані математичні моделінеосесиметричних коливань шаруватих оболонок обертання, складених із пасивних і п'єзоактивних шарів, зврахуванням дисипації, викликаної нею температури вібророзігріву й залежності властивостей матеріалу відтемператури. Розроблено чисельноаналітичну методику розв'язування нелінійних крайових задач для рівнянь вчастинних похідних, до яких приводять такі моделі. Ця методика грунтується на ітераційних процедурах нелінійноїмеханіки й скінченноелементному методі розв'язування лінійних крайових задач на кожній ітерації. Длявипадку, коли властивості матеріалу не залежать від температури, одержано точні аналітичні розв'язки задачі проколивання і вібророзігрів біморфних прямокутної пластини й циліндричної панелі, а також задач про поширенняфронту теплової деполяризації в шарі, циліндрі й кільцевій п'єзопластині. На основі розроблених моделей іметодів шляхом розв'язання конкретних задач досліджено вплив дисипації, температури вібророзігріву, залежностівластивостей матеріалу від температури на амплітудно, температурночастотні характеристики, коефіцієнтизатухання й електромеханічного зв'язку, докритичний і критичний тепловий стан тонкостінних пластин йоболонок.
Ключові слова: термомеханічні коливання, шаруваті п'єзооболонки, дисипація, вібророзігрів.

Karnaukhova T.V. Vibrations and dissipative heating of viscoelastic layered thinwalled piezoelements. Manuscript.
Dissertation for Candidate of Sciences Degree in Physics and Mathematics by the speciality 01.02.04 mechanics ofdeformable solids. Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2000.
In the dissertation mathematical models of nonsymmetric vibrations of layered revolution shells which made up frompassive and piezoactive components are developed with taking into account dissipation, vibroheating,temperature dependence of material characteristics. Numerical and analytical approaches of solving nonlinear boundary problemsto which the models lead are developed. The approaches are based on iteration procedures of nonlinearmechanics and finite element methods of solving linear boundary problems on every iteration. When materialcharacteristics don't depend on temperature the analytical solutions of problems of vibrations of bimorphrectangular plates and cylindrical panels are obtained also as well problems about motion of front ofthermal depolarization in layer, cylinder and circular plate. On basis of the models, methods and received analytical andnumerical solutions the influence of dissipation, vibroheating and temperature dependence of material propertiesare investigated on amplitude, temperaturefrequency characteristics, coefficients of damping andelectromechanical couples, critical thermal states of thinwalled elements.
Key words: thermomechanical vibrations, layered piezoshells, dissipation, vibroheating.

Карнаухова Т.В. Колебания и диссипативный разогрев вязкоупругих слоистых тонкостенных пьезоэлементов. Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.02.04 механикадеформируемого твердого тела. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2000.
В диссертации на основе концепции комплексных модулей с использованием гипотез Кирхгоффа Лява, адекватных имгипотез А.Ф.Улитко о распределении по толщине оболочки электрических полевых величин и гипотезы о полиномиальномраспределении нормальной составляющей вектора теплового потока построены математические моделинеосесимметричных колебаний слоистых оболочек, составленных из пассивных и пьезоактивных слоев, с учетомдиссипации, вызванной ею температуры виброразогрева, температурной зависимости свойств материала исвязанности электромеханических и тепловых полей. Как частный случай рассмотрены модели термомеханических колебаний трехслойнойоболочки, составленной из среднего пассивного слоя и двух пьезоактивных слоев с различным расположениембесконечно тонких электродов на поверхностях контакта слоев и внешних поверхностях. В рамках этихмоделей электромеханическое и тепловое состояние слоистых пьезооболочек описывается нелинейной комплекснойсистемой дифференциальных уравнений в частных производных. Для оболочек вращения разработана численноаналитическая методика ее решения, которая базируется на итерационных процедурах нелинейной механики: шаговом повремени методе, методе переменных параметров и его модификации методе Эйткена Стефенсона. Они сводят решениеисходной нелинейной краевой задачи к решению на каждой итерации линейных двумерных краевых задачэлектромеханики и уравнения теплопроводности с известным источником тепла. Для решения последних применяетсяметод конечных элементов (МКЭ) с использованием двенадцатиузловых изопараметрических элементов. Прогиб впределах элемента аппроксимируеся полиномами Эрмита в местной системе координат, а температура, тангенциальныесоставляющие вектора перемещений и геометрия оболочки полиномами третьей степени. Решениекомплексной системы линейных алгабраических уравнений находится методом Гаусса. Собственные частотыопределяются методом половинного деления интервала, в котором они находятся. Для оценки эффективностиразработанного подхода рассмотрен ряд тестовых задач, решение которых получено другими авторами идругими методами. Сравнение результатов свидетельствует о высокой точности разработанного в диссертации подхода.Когда свойства материалов не зависят от температуры, задача сводится к последовательному решению задачи овынужденных колебаниях пьезоэлемента, определению диссипативной функции и решению уравнения теплопроводности сизвестным источником тепла. В рамках такой постановки в работе получены точные решения задач о колебаниях идиссипативном разогреве биморфных пьезопластин и цилиндрических пьезопанелей с шарнирным закреплением торцов. Впредположении, что достижение точки Кюри недопустимо, найдено критическое значение параметра электрическогонагружения. Произведено сравнение точных и конечноэлементных решений, которое свидетельствует овысокой точности последнего. В квазистатической постановке получены точные решения задач о формировании областейтепловой деполяризации в пьезоэлектрических слое, полом цилиндре, кольцевой пластине, связанном сдостижением температурой виброразогрева точки Кюри. Для кольцевой пластины задача решена как в квазистаической,так и в динамической постановках с учетом зависимости свойств материала от температуры, Исследовано влияние условий теплообмена, сил инерции, температурной зависимости свойств на размеры областей деполяризации. Решены задачи о влиянии тепловой деполяризации на вынужденные колебания замкнутой сферической и бесконечно длинной цилиндрической оболочек, находящихся в акустической среде. Рассмотрены задачи о тепловом пробое пьезоэлектрических слоя, биморфных пластины и цилиндрической панели при электрическом гармоническом нагружении. Решение этих задач сведено к определению минимального собственного числа некоторой задачи на собственные значения. Получены простые формулы для критического значения параметра электрического нагружения, после достижения которого происходит тепловой пробой пьезоэлемента. На основе разработанных моделей и методов решены задачи о неосесимметричных колебаниях и диссипативном разогреве биморфных и трехслойных пьезопластин и цилиндрических пьезопанелей с учетом диссипации в материалах, вызванного ею виброразогрева, зависимости свойств материалов от температуры и связанности электромеханических и тепловых полей. Изучено влияние этих факторов на частотную зависимость амплитуды колебаний, температуры диссипативного разогрева, коэфициента затухания и коэфициента электромеханической связи и показано, что их учет может привести как к количественным, так и к качественным изменениям этих характеристик, в частности, к появлению дополнительных ветвей, вызванных резким изменением свойств материалов в окрестности точки Кюри.
Ключевые слова: термомеханические колебания, слоистые пьезоболочки, диссипация, виброразогрев.