СУПЕРАЛГЕБРИ ЛЯЙБНИЦЯ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ » ДНН.су Дослідження Нової Науки - наукові роботи, дисертації, монографії, статті, реферати та автореферати українською мовою

Навігація

Друзья

Пошук

СУПЕРАЛГЕБРИ ЛЯЙБНИЦЯ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

2 серпня 2009

Увага! У вас немає прав для перегляду схованого тексту.

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Кушніревич Віталій Аркадійович

УДК 512

СУПЕРАЛГЕБРИ ЛЯЙБНИЦЯ
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

01.01.06 алгебра і теорія чисел

Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізикоматематичних наук

Київ 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут" Міністерстваосвіти і науки України

Науковий керівник:
доктор фіз.мат наук, академік НАН України, професор Далецький Юрій Львович, Національний технічний університетУкраїни "КПІ", професор

Офіційні опоненти:

доктор фіз.мат наук, професор Дрозд Юрій Анатолійович
Київський університет імені Тараса Шевченка, професор

кандидат фіз.мат. наук Любашенко Володимир Васильович
Інститут математики НАН України, с.н.с.

Провідна установа: Львівський університет імені Івана Франка, механікоматематичний факультет, Міністерства освітиі науки України.

Захист відбудеться "2" жовтня 2000 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованної Вченої Ради Д26.001.18 приКиївському університеті имені Тараса Шевченка за адресою:
03127, м.Київ 127, проспект акад. Глушкова, 6, Київський університет імені Тараса Шевченка, механікоматематичнийфакультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська,58)

Автореферат розісланий "1" вересня 2000 р.

Вчений секретар
спеціалізованої Вченої Ради Петравчук А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми.
Дисертаційна робота присвячена розвитку формальної конструкції системи, що була запропонованаІ.М.Гельфандом та Ю.Л.Далецьким як основа апарату некомутативної диференціальної геометрії. Можнарозглядати систему як алгебраїчну конструкцію, одним з представлень якої є апарат диференціальної геометріїгладкого многовиду: векторні поля, диференціальні форми та операції над ними. В цій конструкції єсупералгеброю Лі, множиною елементів, які називаються диференціалами.
Ідея такого узагальнення походить з серії робіт І.М.Гельфанда та Л.А.Дикого і І.М.Гельфанда, Ю.І.Маніна таМ.О.Шубіна, в яких описана конструкція формального варіаційного числення, пристосована до дослідження нелінійнихрівнянь математичної фізики, зокрема, рівняння Кортевега де Фріза. Пізніше в роботах І.М.Гельфанда таІ.Я.Дорфман цю конструкцію було використано для визначення дужки Пуассона на диференціальних 0 та 1формах задопомогою дужки в алгебрі Лі та гамільтонових операторів. При цьому стало зрозумілим, що дужки Схоутена пов'язаніз гамільтоновими операторами, які природно виникають в цій теорії.
Роботи І.М.Гельфанда, Ю.Л.Далецького та Б.Л.Цигана, розвивають теорію систем у "супервипадку". Теоріясупермноговидів є відносно новим напрямком в математиці, що синтезує математичний аналіз, диференціальну таалгебраїчну геометрію. Розвиток цієї теорії, і особливо тієї її частини, що пов'язана з теорією представленьсупергруп і супералгебр Лі, викликаний важливими застосуваннями в фізиці. Цікаві конструкції таприклади містяться в роботах І.С.Красильщика, М.ДюбуаВіолєтта, Р.Кернера та Дж.Мадора, І.КосманнШварцбах.
Наступним етапом розвитку теорії систем є робота А.Кабрас та О.М.Виноградова, де запропоновано варіант визначеннядужки Пуассона на всіх диференціальних формах та мультивекторних полях одночасно і роботи Ю.Л.Далецькогота В.А.Кушніревича, де теорія розвивається на основі ідеї гамільтонового елемента, що є елементомсупералгебри Лі, на відміну від гамільтонового оператора, який є "зовнішнім" об'єктом відносно неї. Нацьому шляху автором дисертаційної роботи доведено, що аналогічна конструкція дозволяє побудувати дужки Пуассонана диференціальних формах і мультивекторних полях також у випадку, коли не є супералгеброю Лі, а лише супералгеброюЛяйбниця, яка відрізняється від супералгебри Лі відсутністю властивості косої симетрії дужки. Цеузагальнення викликано з одного боку фізичними застосуваннями (цікава конструкція механіки була запропонованаЙ.Намбу і узагальнена Л.Тахтаджяном), а з іншого боку спробою відповісти на питання, поставленеЮ.Л.Далецьким, чи можна побудувати аналогічну конструкцію у випадку супералгебри НамбуТахтаджяна, в якійдужка має аргументів. Виявилося, що відповідь на це питання позитивна. Автору дисертаційної роботи вдалосятакож побудувати нові серії прикладів супералгебр Намбу, які можливі лише в "супер"теорії.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основні результати даної дисертаційної роботи були отриманів рамках досліджень за науковими держбюджетними темами, що виконувались в Фізикотехнічному інститутіНаціонального технічного університету України "КПІ":
- №2329 (№ держреєстрації 0198U001076) "Формальні та стохастичні узагальнення диференціальної геометрії, щопов'язані з нелінійними рівняннями та нескінченновимірними функціями", 19981999;
- №2914 (№ держреєстрації 0196U004116) "Деякі алгебраїчні структури, що пов'язані з нелінійними рівняннямиматематичної фізики", 19961997.
Мета і задачі досліджень.
- Побудова аналогу теорії систем у випадку, коли є супералгеброю Ляйбниця, зокрема побудова єдиним чином дужокПуассона на всіх диференціальних формах і мультивекторних полях.
- Дослідження супералгебр Намбу у зв'язку з теорією систем, пошук нових прикладів супералгебр Намбу.
- Опис одного класу гамільтонових елементів у формальному варіаційному численні.
Методи досліджень. Методи досліджень, використані в роботі, є універсальними загальноматематичними методами звикористанням низки специфічних підходів, характерних для "суперматематики".
Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, отримані в дисертаційній роботі є новими:
- побудовано аналог теорії систем у випадку, коли є супералгеброю Ляйбниця;
- введено нові поняття мультимодуля і мультикомплекса; використано їх для дослідження супералгебр Намбу у зв'язку зтеорією систем;
- за допомогою гамільтонових елементів введено нові серії дужок Пуассона;
- знайдено нові приклади супералгебр Намбу узагальнені якобіани;
- на прикладі формального варіаційного числення описано важливий клас гамільтонових елементів.
Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертаційній роботі, мають теоретичнезначення. Розроблений аналог теорії систем у випадку, коли є супералгеброю Ляйбниця, може бути використаний для дослідженняпевних проблем фізики та некомутативної геометрії. За допомогою нових серій дужок Пуассона широкий класдинамічних систем може бути представлений у гамільтоновій формі. Результати дослідження супералгебр Намбуможуть бути використані для опису динаміки складних фізичних об'єктів, фазовий простір яких має непарну вимірність. Новіприклади супералгебр Намбу цікаві з точки зору розширення класу об'єктів, що описуються згаданою конструкцією.
Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані дисертантом самостійно при постійнійувазі та підтримці з боку наукового керівника.
Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на алгебраїчному семінаріКиївського Національного Університету ім. Тараса Шевченка, керівніки семінару професори Ю.Дрозд,В.Кириченко та В.Сущанський (Київ, 2000); науковому семінарі "Проблеми алгебри та функціонального аналізу" інституту математикиНаціональної академії наук України, керівник семінару професор Ю.Самойленко (Київ, 1999); науковомусемінарі кафедри геометрії університету м.Тарту, керівники семінару професори М.Рахула, В.Абрамов(Тарту, Естонія, 1999); міжнародній науковій конференції "Вторинне диференціальне числення та когомологічна фізика"(Москва, Росія, 1998); Літній школіконференції з некомутативної геометрії (Лісабон, Португалія, 1997); семінарі "Квантовігрупи" Політехнічної Школи, керівники семінару професори П.Карт'є, Г.Мальтсініотіс, І.КосманнШварцбах(Париж, Франція, 1996); 5й Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 1996); Мінісеместрі"Квантові групи та квантові простори" Міжнарожного математичного Центру ім. С.Банаха (Варшава, Польща,1995); Міжнародній конференції з топології та її застосувань (Київ, 1995); науковому семінарі "Алгебраїчніметоди математичної фізики" кафедри математичних методів системного аналізу Національного технічногоуніверситету України "Київський політехнічний інститут", керівник семінару академік Ю.Л.Далецький(періодично протягом 1994 1997 років).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 5и статтях [14,6], препринті [5] та тезах міжнароднихконференцій [7,8].
Структура і обсяг дисертації. Робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використанихджерел із 48 найменувань. Загальний обсяг роботи 115 сторінок.

ЗМІСТ РОБОТИ
В дисертаційній роботі під супералгеброю Лі ми розуміємо градуйовану супералгебру Лі над полем, характеристикаякого не дорівнює 2, дужкою і функцією парності, причому дужка задовольняє співідношенню косоїсиметрії:
і тотожність Якобі. Значення функції парності () у загальному випадку це цілочисельні вектори, скалярний добуток. Елемент миназиваємо парним або непарним, якщо таким є число.
У вступі проаналізовано стан проблеми, зазначена актуальність дослідження супералгебр Ляйбниця, підкресленоїх важливість у застосуваннях, подана загальна характеристика новизни та теоретичної цінності одержаних результатів.
Перший розділ дисертаційної роботи присвячений дослідженню супералгебр Ляйбниця та Лі, зокрема тих операцій в них,що генеруються спеціальним елементом диференціалом.
В підрозділі 1 розділу 1 вивчаються зв'язки між супералгебрами Ляйбниця та Лі. Лівою супералгеброю Ляйбницяназивається градуйована супералгебра з бінарною операцією дужкою, та функцією парності, якізадовольняють тотожність Ляйбниця:
Зауважимо, що супералгебра Лі є супералгеброю Ляйбниця. Зворотнє твердження, взагалі кажучи, несправедливе.З'ясовується, що, незважаючи на відсутність косої симетрії дужки, слабка коса симетрія все ж маємісце, тобто, якщо
Доводиться, що якщо є одночасно лівою та правою супералгеброю Ляйбниця, то в ній можна ввести структурусупералгебри Лі: нова дужка вводиться за формулою:
Підрозділ 2 розділу 1 присвячено дослідженню тих структур супералгебри Ляйбниця, які виникають відносно новоїоперації, що визначається за допомогою диференціала. А саме, нехай непарний елемент (позначимо, ), щозадовольняє рівність (він і називається диференціалом). Вводячи в білінійну операцію
На основі введених об'єктів, будується нова супералгебра Ляйбниця, яка містить елементи вихідної супералгебриЛяйбниця, полілінійні відображення з неї в модуль (форми), елементи з образу оператора диференціюваннявздовж векторного поля та оператор. Розглядається тензорна алгебра, що породжена цими елементами.Ця супералгебра Ляйбниця і є основним об'єктом теорії, що будується.
В заключній частині цього підрозділу міститься узагальнення понять модуля і комплекса над супералгеброю Ляйбниця.Нехай в визначена структура супералгебри Ляйбниця та дії, які лінійно залежать від параметра, щопробігає деякий лінійний простір, так що рівність виконується для кожного. Будемо говорити тоді, що задано мультимодульнад. Дужки, які породжені двома елементами, пов'язані між собою співвідношенням узгодженості
Ці узагальнення понять модуля та комплекса над супералгеброю Ляйбниця використовуються в підрозділі 2 розділу 3 узв'язку з супералгебрами Намбу. Зокрема, для побудови нових прикладів супералгебр Намбу виявляється важливимпобудова класів диференціалів, що комутують. Один з таких класів будується за допомогою Твердження 1.4.
Твердження 1.4. Нехай мультимодуль над супералгеброю Ляйбниця і сім'я відповідних комплексів де Рама. Тодівиконуються співвідношення
Розділ 2 присвячено дослідженню гамільтонових елементів та гамільтонових відображень, їх взаємозв'язків, а такождужок Пуассона, що генеруються гамільтоновими елементами.
Підрозділ 1 розділу 2 містить означення гамільтонового елемента та властивості дужок, які ним породжуються. Цівластивості є наслідками результатів розділу 1 в силу того, що гамільтонові елементи це диференціалиспеціального типу.
Нехай парний елемент супералгебри Ляйбниця. Розглянемо елементи вигляду. Маємо. Щоб був диференціалом, досить поставити вимогу Розділ 3 присвячено дослідженню супералгебр Намбу у зв'язку з теорією, розвиненою у розділах 1 та 2. Зокрема,вивчаються структури супералгебр Лі, що природньо виникають при дослідженні супералгебр Намбу.
В підрозділі 1 розділу 3 показано, що вихідний об'єкт формальної диференціальної геометрії супералгебра Ляйбниця(Лі) та модуль над нею природно виникають в теорії супералгебр Намбу.
Нехай градуйований суперпростір. Фіксуємо в парність. Супералгеброю Намбу порядка 3 назвемо трійку, де 3лінійна операція (що називається дужкою Намбу), яка
Оператор є диференціалом в і. є канонічним комплексом (де Рама) над супералгеброю Лі.
Нехай два елементи однакової парності,. Їм відповідають супералгебри Лі. Над кожною з них можна побудуватикомплекс де Рама та. Простори цих комплексів співпадають, комплекси відрізняються лише диференціалами.Справедливе
Підрозділ 3 розділу 3 містить нові реалізації супералгебр Намбу узагальнені якобіани. Ця конструкція релізуєтьсялише за умови переходу до супералгебр.
Нехай комутативна супералгебра і її диференціали, що комутують:
В розділі 4 розглядається нетривіальний приклад конструкції формальної диференціальної геометрії формальневаріаційне числення. Нетривіальність полягає в тому, що модуль над супералгеброю Лі є лише модулем, але неє супералгеброю. Всі об'єкти, введені в розділах 1 та 2, розглядаються на цьому прикладі. Зокрема, досліджуєтьсявигляд гамільтонових елементів в такій теорії.
Нехай множина символів,, і не залежать від. Нехай комутативна супералгебра поліномів від символів.Розглянемо диференціювання,. Лінійні комбінації ( ) утворюють супералгебру Лі диференціювань супералгебри здужкою
Маючи супералгебру Лі і модуль будується канонічний комплекс цієї пари.
В супералгебрі виділяється спеціальне диференціювання. Через позначається підсупералгебра Лі супералгебри Лі, що складається з диференціювань, що комутують з.
Лема 4.1. Супералгебра складається з диференціювань вигляду, де.
Таким чином, супералгебра Лі ототожнюється з наборами. Дужка Лі на обчислюється за формулою. Елементи називаютьсявекторними полями.
Головний комплекс формального варіаційного числення вводиться наступним чином. Будемо вважати еквівалентноюнулю, якщо є похідною Лі вздовж деякого елемента. Сукупність елементів, еквівалентних нулю, будемо позначати. Нехай.
Далі детально описуються для. З'ясовується, що елементи головного комплексу формального варіаційногочислення можуть бути записані у деякому канонічному вигляді.
В заключній частині розділу описується важливий клас гамільтонових елементів. А саме, нехай. Тодігамільтонів елемент задається матрицею,, де.

ВИСНОВКИ
- побудовано аналог теорії систем у випадку, коли є супералгеброю Ляйбниця;
- введено нові поняття мультимодуля і мультикомплекса; використано їх для дослідження супералгебр Намбу у зв'язку зтеорією систем;
- за допомогою гамільтонових елементів єдиним чином введено нові серії дужок Пуассона на диференціальних формах,диференціальних формах з векторними значеннями, мультивекторних полях тощо;
- знайдено нові приклади супералгебр Намбу узагальнені якобіани;
- у формальному варіаційному численні описано важливий клас гамільтонових елементів.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В РОБОТАХ:
1. Далецкий Ю.Л., Кушниревич В.А. Дифференциальные структуры в супералгебре Ли // Укр. Матем. Журн. 1996. 48,вып. 4. C. 435442.
2. Далецкий Ю.Л., Кушниревич В.А. Включение алгебры НамбуТахтаджяна в структуру формальной дифференциальнойгеометрии. Доповіді НАН України. 1996. № 4. C 1217.
3. Кушніревич В.А. Про гамільтонові елементи в формальному варіаційному численні. Науковий вісник НТУУ "КПІ". 1999. № 3. C. 134136.
4. Daletskii Yu.L., Kushnirevitch V.A. Formal Differential Geometry and NambuTakhtajan Algebra. Banach CenterPubl. 1997. vol. 40. P. 293302.
5. Daletskii Yu.L., Kushnirevitch V.A. Poisson and Nijenhuis Brackets for Differential Forms on NonCommutativeManifold. SFB 237. Preprint Nr 274, Institut fьr Matematik, RuhrUniversitдtBochum, September,1995, 29 p.
6. Кушниревич В.А. Дифференциальные структуры в супералгебре Лейбница. Деп. в ГНТБ Украины 24.09.96, N 1836Ук96.
7. Daletskii Yu.L., Kushnirevitch V.A. On Differential Structures in Lie Superalgebra. Тезисы Международнойконференции по топологии и ее приложениям (28 мая 4 июня 1995 г.). Институт математики НАНУкраины, Киевский университет им. Т.Шевченко. Киев, 1995. С.1415.
8. Кушніревич В.А. Алгебра НамбуТахтаджяна та формальна диференціальна геометрія. П'ята Міжнародна НауковаКонференція ім. акад. М.Кравчука (1618 травня 1996 р.). Київ, 1996. С. 229.

Користуючись нагодою, автор дисертаційної роботи хотів би відзначити постійну увагу та підтримку з боку науковогокерівника академіка Далецького Юрія Львовича. Його передчасна смерть є тяжкою втратою для української тасвітової науки.
Кушніревич В.А. Супералгебри Ляйбниця та їх застосування. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізикоматематичних наук за спеціальністю 01.01.06 алгебра ітеорія чисел. Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.
Дисертацію присвячено дослідженню супералгебр Ляйбниця. В рамках досліджень побудовано аналог теорії систем увипадку, коли є супералгеброю Ляйбниця. Досліджено абелеві розширення супералгебр Ляйбниця. За допомогою впершевведених понять мультимодуля і мультикомплекса досліджено супералгебри Намбу у зв'язку з теорією систем. Задопомогою гамільтонових елементів єдиним чином введено нові серії дужок Пуассона на диференціальних формах,диференціальних формах з векторними значеннями, мультивекторних полях тощо. Знайдено нові прикладисупералгебр Намбу узагальнені якобіани. У формальному варіаційному численні як системі описано важливийклас гамільтонових елементів.
Ключові слова: супералгебри Ляйбниця, супералгебри Лі, супералгебри Намбу, формальна диференціальна геометрія,дужки Пуассона, формальне варіаційне числення.

Кушниревич В.А. Супералгебры Лейбница и их применение. Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.06 алгебра итеория чисел. Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.
Диссертационная работа включает введение, четыре раздела, выводы и список литературы из 48 наименований. Общийобъем работы составляет 108 страниц машинописного текста.
Во введении проанализировано состояние проблемы, обоснована актуальность исследования супералгебр Лейбница,подчеркивается их важность в приложениях, дана общая характеристика новизны и теоретической ценностиполученных результатов.
Первый раздел диссертационной работы посвящен исследованию супералгебр Лейбница и Ли, в частности тех операций вних, которые порождаются специальным элементом дифференциалом. Доказываются теоремы о наличии структурсупералгебр Лейбница и Ли относительно этих операций. Определяется модуль над супералгеброй Лейбница. Паре супералгебра Лейбница и модуль над ней каноническим образом сопоставляется комплекс. Впервые вводятся понятиямультимодуля и мультикомплекса. Изучаются абелевы расширения супералгебр Лейбница. Строится тензорнаяалгебра, однородными элементами которой являются элементы исходной супералгебры Лейбница, элементыканонического комплекса, построенного выше, дифференциал этого комплекса и элементы модуля, рассматриваемыекак операторы представления. В ней вводится структура супералгебы Лейбница. Изучаются суженияоперации в тензорной алгебре на подалгебры, в ней содержащиеся. В частности, на дифференциальные формы,мультивекторные поля, векторнозначные дифференциальные формы.
Во втором разделе определяются и исследуются гамильтоновы элементы и гамильтоновы отображения, их взаимосвязи.Гамильтонов элемент это дифференциал специального типа. При помощи гамильтонового элементаопределяются единым образом скобки Пуассона на дифференциальных формах, дифференциальных формах свекторными значениями, мультивекторных полях и т.д.
Третий раздел посвящен изучению супералгебр Намбу в связи с теорией, развитой в предыдущих разделах. В частности,изучаются структуры супералгебр Лейбница и Ли, естественно возникиющие при исследовании супералгебрНамбу. На этом пути строятся новые примеры супералгебр Намбу обобщенные якобианы.
В заключительном, четвертом разделе, на примере формального вариационного исчисления изучаются введенные ранееобъекты. В частности, исследуется один важный класс гамильтоновых элементов. Доказывается, что гамильтоновэлемент может быть задан бесконечной матрицей. Выводятся формулы, выражающие остальные его компоненты.
Ключевые слова: супералгебры Лейбница, супералгебры Ли, супералгебры Намбу, формальная дифференциальная геометрия,скобки Пуассона, формальное вариационное исчисление.

Kushnirevitch V.A. Leibniz Superalgebras and their Applications. Manuscript.
Thesis for a Philosophy Doctor Degree by speciality 01.01.06 algebra and number theory. Kiev Taras ShevchenkoUniversity, Kiev, 2000.
The dissertation is devoted to investigation of Leibniz superalgebra. The analog of system for the case Leibnizsuperalgebra is built and Abelian extension of Leibniz suprealgebra is studied. Using new notion ofmultimodule and multicomplex Nambu superalgebra is investigated concerning to system theory. New series ofPoisson brackets are introduced. Universal method to construct Poisson bracket for differential forms, vectorvalued differential forms, multivector fields, etc. On the base of Hamiltonian elements is proposed. New examplesof Nambu superalgebras are found (generalized Jacobians). Certain class of Hamiltonian elements in formal calculus ofvariations theory is described.
Keywords: Leibniz superalgebra, Lie superalgebra, Nambu superalgebra, formal differential geometry, Poissonbracket, formal calculus of variations.