РОЗВ'ЯЗОК КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПОТЕНЦІАЛУ ТА ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ » ДНН.су Дослідження Нової Науки - наукові роботи, дисертації, монографії, статті, реферати та автореферати українською мовою

Навігація

Друзья

Пошук

РОЗВ'ЯЗОК КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПОТЕНЦІАЛУ ТА ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ

2 серпня 2009

Увага! У вас немає прав для перегляду схованого тексту.

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 539.3

ЛОВЕЙКІН АНДРІЙ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

РОЗВ'ЯЗОК КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
ТЕОРІЇ ПОТЕНЦІАЛУ ТА ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
ДЛЯ ТІЛ З КУТОВИМИ ТОЧКАМИ

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2000
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник -член-кореспондент НАН України, заслужений діяч науки УРСР, доктор фізико-математичних наук,професор
Улітко Андрій Феофанович
Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедрою теоретичної та прикладноїмеханіки.

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук, професор
Карнаухов Василь Гаврилович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, завідувач відділомтермопружності;

кандидат фізико-математичних наук,
Лебедєва Ірина Валеріївна, Український державний університет харчових технологій, доцент кафедри вищоїматематики.

Провідна установаФізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, м. Львів.

Захист відбудеться "29" червня 2000 р. о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 уКиївському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, проспект Академіка Глушкова, 2,корпус 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ,вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий " 26 " травня 2000 р.

Вчений секретар
спеціалізованої вченої радиКепич Т.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми.
Розвиток різних галузей машинобудування, створення потужних промислових установокпов'язаний із широким застосуванням різноманітних композитних матеріалів з високою питомою міцністю, що дозволяє знизитиматеріаломісткість конструкцій. В той же час, ці матеріали мають малу тріщиностійкість, що несе за собоюнебезпеку їх швидкого руйнування. Тому задачі про визначення напружено-деформованого стану в тілах з тріщинамипривернули до себе значну увагу вчених. Розв'язання задач математичної теорії тріщин в межах лінійноїтеорії пружності дозволяє відносно просто визначити напружено-деформований стан в тілах з тріщинами, щовідповідає дійсності. Тому з розв'язанням цих задач і пов'язана проблема визначення умов і законів розповсюдженнятріщин, встановлення граничних навантажень, що призводять до руйнування матеріалу. Характерноюособливістю задач теорії тріщин є те, що всі вони є мішаними крайовими задачами теорії пружності, і їхрозв'язання вимагає специфічних математичних методів. Аналіз стану питання про розв'язання мішаних задач теоріїпружності встановив, що на теперішній час розроблені математичні методи та побудовані точні розв'язки плоскихзадач для тіл з тріщинами та деяких класів просторових задач для тіл з тріщинами, фронт яких окресленийгладкими кривими. В той же час недосконалість математичних методів не дозволяє будувати точні розв'язкизадач математичної теорії тріщин для тіл з внутрішніми та приповерхневими тріщинами, фронт яких має кутовіточки.
Таким чином, із сказаного вище можна зробити висновок, що питання про розробку математичних методіврозв'язання крайових задач для тіл з тріщинами з кусково-гладким контуром та побудову точних розв'язків цих задач залишаєтьсявідкритим.
За своєю математичною постановкою та методом досліджень задачі теорії пружності для тіл з тріщинами схожі зпросторовими задачами теорії потенціалу. Тому природньо, що в багатьох випадках методика розв'язання мішаних задачтеорії потенціалу може бути перенесена на мішані задачі теорії пружності для тіл з тріщинами.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження та результати дисертаційної роботи тіснопов'язані з науковими дослідженнями, що проводяться на кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київськогоуніверситету ім. Тараса Шевченка за комплексною науковою програмою "Дослідження закономірностейдеформування складних механічних структур з урахуванням явищ і ефектів зв'язності полів різноїприроди і розробка методів їх кількісного аналізу" на 1997 - 2000 рр.
Мета дослідження. Розробка схеми розв'язання та побудова точних розв'язків задач теорії потенціалу дляпросторових тіл з кутовими точками та просторових задач теорії пружності для тіл з однією або двома внутрішніми таприповерхневими клиноподібними тріщинами із використанням інтегральних розвинень по функціях Лежандра типуМелера-Фока. На основі отриманих точних розв'язків встановити характер особливості електростатичного поля та полянапружень в кутових точках просторових тіл.
Наукова новизна одержаних результатів.
- Проведене узагальнення перетворень типу Мелера-Фока по функціях на проміжках (0, /2) та (0, ) на більшширокий клас функцій.
- Вперше розроблена схема застосування інтегрального перетворення типу Мелера-Фока по функціях на проміжку(0, ) до розв'язання просторових задач теорії потенціалу та теорії пружності для тіл з кутовими точками.
- На основі представленої схеми вперше побудовані точні розв'язки задач теорії потенціалу для просторових тілу формі зігнутої клиноподібної пластини та тригранного кута і задач теорії пружності для простору з однією або двомавнутрішніми клиноподібними тріщинами та нестисливого півпростору з розрізом по чверті площини, ребро якогоперпендикулярне поверхні півпростору.
- З отриманих точних розв'язків вперше визначені характери особливостей електростатичного поля та полянапружень в кутових точках розглянутих тіл, встановлені залежності цих особливостей від геометричних параметрів тіл.
Практичне значення одержаних результатів. Запропонована схема застосування інтегрального перетворення типуМелера-Фока дозволяє розв'язувати мішані крайові задачі теорії потенціалу, теорії пружності та контактні задачі всферичній та просторовій біполярній системах координат. Побудовані точні розв'язки вказаних задач математичної теорії тріщиндозволяють оцінити напружено-деформований стан в реальних тілах з тріщинами, що мають схожу геометрію.Отримані особливості пружного поля в кутових точках тріщин дозволяють розробляти ефективні алгоритминаближеного визначення напружено-деформованого стану в реальних тілах та передбачити процес розповсюдженнятріщин, геометрія яких аналогічна розглянутим в роботі.
Особистий внесок здобувача. Основні результати роботи отримані особисто здобувачем. В роботах [1, 4, 5, 6]співавтору, А.Ф. Улітку, належить постановка задач, а побудову аналітичних розв'язків та аналіз отриманихрезультатів здійснено дисертантом. В роботі [1] співавтором, Д.М. Парфененком, запропоновано методикурозв'язування задачі про зігнуту клиноподібну пластину, дисертантом здійснено розв'язок даної задачі тааналіз отриманих результатів.
Апробація результатів дисертації. Окремі результати роботи та робота в цілому доповідались на науковомусемінарі "Проблеми механіки" при кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського університету ім. Тараса Шевченка(1997 - 2000 рр.).
Крім цього, окремі результати роботи доповідались на наукових конференціях:
- Наукова конференція студентів і аспірантів механіко-математичного факультету Київського університету ім.Тараса Шевченка, 1996 р.
- Міжнародна наукова конференція "Современные проблемы концентрации напряжений", присвячена 75-річчюакадеміка НАН України О.С. Космодаміанського, м. Донецьк, 1998 р.
- ІІ міжнародна конференція "Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій", м. Львів, 1999 р.
Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в 4-х наукових журналах, одному збірнику наукових праць і вматеріалах конференцій.
Дисертація обсягом 131 с. складається із вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел із 100найменувань; містить 12 рисунків.
Автор висловлює подяку науковому керівникові, чл.-кор. НАНУ, проф. Улітку А.Ф. за підтримку і цінні порадипід час роботи над дисертацією.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі аналізується сучасний стан питання про розв'язання задач математичної теорії тріщин, контактнихзадач та споріднених задач теорії потенціалу для тіл з кутовими точками. Обгрунтовується актуальність проблеми розв'язаннязадач вказаного класу та визначається мета досліджень. Встановлена наукова новизна та практичне значеннядисертаційної роботи, вказується особистий внесок здобувача, апробація роботи та публікації автора, в якихвикладений основний зміст. Вказано на зв'язок проведеного дослідження з науковими темами.
В першому розділі зроблений огляд наукових праці за вказаною проблематикою. Огляд починається з робіт Г.Вестергаарда, І. Снеддона, Г. Ірвіна, В.З. Морозова, в яких розглянуті плоскі задачі теорії пружності для тіл зтріщинами. Наступним кроком в розгляді вказаного питання можна вважати розв'язання задач просторової теоріїпружності для тіл з тріщинами, що мають гладкий фронт, та споріднених контактних задач для штампів з гладкоюмежею. Це, в першу чергу, роботи В.І. Моссаковського, А.Ф. Улітка, Я.С. Уфлянда, В.М. Александрова, В.В.Панасюка, Ю.М. Подільчука, О.Є. Андрейківа та інших. Найскладнішими задачами вказаного класу є задачі прорівновагу пружних тіл з тріщинами з кусково-гладким фронтом, контактні задачі для штампів, обмежених кусково-гладкими кривими, та споріднені задачі теорії потенціалу для плоских та об'ємних тіл з кутовими точками. Тут слідвідмітити роботи Л.А. Галіна, В.Л. Рвачова, В.С. Проценка, В.М. Александрова, А.Ф. Улітка, Д.М. Парфененка, вяких розглянуті мішані задачі теорії пружності для півпростору, коли лінія зміни крайових умов є кусково-гладкою,а також роботи М.М. Лебедєва, І.П. Скальської, в яких розглядались споріднені задачі теорії потенціалу. Останнімчасом в роботах В.М. Александрова та Д.О. Пожарського розглянуті методи розв'язання мішаних задач теорії пружності дляпросторового клина.
Другий розділ роботи присвячений розгляду інтегральних перетворень типу Мелера-Фока по функціях напроміжках 0< < та 0< < /2,, s - чисто уявні числа, які були розроблені в роботах А.Ф. Улітка, Д.М. Парфененка, а також М.М.Лебедєва, І.П. Скальської. Зроблене узагальнення цих перетворень на більш широкий клас функцій.
В третьому розділі розглянуті дві просторові задачі теорії потенціалу для провідників, що мають формусиметрично зігнутої клиноподібної пластини та форму тригранного кута (рис. 1, 2), кутовими точками яких є їх вершини, що наобох рисунках співпадають з початком координат.
Нехай E - замкнена множина, що визначає провідник в просторі, а S - його поверхня. Дослідження характеруповедінки електростатичного поля поблизу кутової точки провідника базується на однорідних розв'язках поставлених задач, яківизначаються як нетривіальні розв'язки такої крайової задачі де xk, yk, k 0, - невідомі, лінійна комбінація яких визначає невідомі функції X+( ) та Y+( ), а як наслідок ірозв'язки поставленої задачі (5). Зауважимо, що система (11) не є регулярною, але її розв'язки можна побудуватиметодом редукції до скінченної, якщо вибрати M=[ L] невідомих xm та N=[ L] невідомих yn, L 10, [ ]-ціла частина числа. Крім цього система (11) матиме сенс, якщо, тобто /2 0.
Оскільки система (11) є однорідною, то вона матиме нетривіальні розв'язки лише у випадку, коли її визначникобертається в нуль, що дає можливість визначити значення параметру s. Нулі визначника системи (11)шукались чисельно. При цьому встановлено, що всі вони дійсні та прості. Основна увага приділялась найменшому додатньомувизначнику, бо саме він визначає особливість електростатичного поля в вершині провідника.
На основі знайдених нулів визначника системи (11), представлень розв'язків поставленої задачі (5) та виразудля поверхневої густини зарядів у випадку плоского провідника можемо встановити, що де =s1-3/2, s1 - найменший додатній нуль визначника системи (11), С не залежить від. Залежність показника відгеометричних параметрів провідника представлена на рис. 3. Поверхнева густина зарядів має в точці O локальнуособливість степеневого характеру, яка залежить від геометрії провідника. Отримані результати в деякихчастинних випадках співпадають з відомими в літературі. Так при 0= /2, а ~0+ провідник вироджується вплоский, який займає чверть площини, і -0,793. М.М. Лебедєвим та І.П. Скальською розглядалась задача длятакого провідника у сферо-конічних координатах і було отримано, що -0,695. Врахувавши, що обидва результати отриманінаближено, можна вважати, що вони узгоджуються.
В ході розв'язання розглянутої задачі можна встановити схему застосування перетворень типу Мелера-Фока допобудови точних розв'язків мішаних задач теорії потенціалу у сферичній системі координат. Розв'язок поставленої задачіпредставляються у вигляді комплексних інтегралів по функціях, інтегрування проводиться по. На основімішаних крайових умов на одній з координатних поверхонь =Const розв'язання задачі зводиться дофункціонального рівняння Вінера-Хопфа, яке, використовуючи відому методику, можна звести до нескінченної системилінійних алгебраїчних рівнянь. При цьому нулі визначника отриманої системи визначають особливість поведінкирозв'язків задачі поблизу кутової точки, що лежить в початку координат. Зауважимо, що у випадку, колимішані крайові умови задаються на двох координатних поверхнях =Const, то задача зводиться до системи рівняньВінера-Хопфа.
Переходячи до розгляду задачі про розподіл електростатичного поля зовні тригранного кута, зауважимо, що вданому випадку провідник є об'ємним, який у сферичній системі координат має вид (див. рис. 2) E={ 0, | |, /2 }, 0< <1, а його поверхня - S={ 0, =, /2 } { 0, | |, = /2}. Крім цього дана задача теж має симетрію покоординаті, і її розв'язок досить шукати у півпросторі y>0 з умовою (2) на його поверхні.
На основі методу частинних областей розіб'ємо півпростір y>0 зовні провідника на дві області
Таким чином, для знаходження функцій 1,2 маємо мішані крайові умови при =. Відмінність розв'язання даноїзадачі від попередньої полягає в тому, що функція 1 представляється через інтеграл по функціях на проміжку (0, /2), афункція 2 - по функціях на проміжку (0, ). Запропонована схема дозволяє звести поставлену задачу донескінченної однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, аналогічної до системи (11). Аналіз отриманої системи тавикористання співвідношення, що визначають поверхневу густину зарядів для об'ємного провідника, дав можливістьвстановити, що при наближенні до вершини тригранного кута, точки O (див. рис. 2), функція маєповедінку, що визначається співвідношенням (12). При цьому показник залежить від геометричного параметра, і ця залежністьпредставлена на рис. 4. Як бачимо, поверхнева густина має в вершині тригранного кута локальну особливістьстепеневого характеру. Цікавим є порівняння отриманих результатів з відомими в літературі. Так при =1/2триграний кут перетворюється у двограний з кутом /2 (точка O лежить на ребрі), і отримана особливість -0,3334співпадає з відомою особливістю на ребрі ( =-1/3). Особливої уваги заслуговує випадок, коли =1/4 і тригранийкут перетворюється в "рівнобічний" (його ребра взаємноперпендикулярні), який розглядався в роботі Г.Фікери, де було отримано, що -0,5665< <-0,5355. В даній роботі визначено, що -0,5460. Результати узгоджуються.
Четвертий розділ присвячений розгляду трьох просторових задач теорії пружності для простору, який послабленийодним клиноподібним розрізом (рис. 5), двома симетричними клиноподібними розрізами, які лежать в одній площині таутворюють вертикальні кути (рис. 6), і послабленого розрізом по півплощині та клиноподібним розрізом, що лежать водній площині (рис. 7). В усіх трьох випадках розрізи лежать в площині y=0 і позначені через S, а кутові точкипросторових тіл співпадають з початком координат.
Вважаємо, що на стінках розрізів S виникають лише симетричні нормальні напруження, а дотичні відсутні(тріщини нормального відриву). Тоді всі задачі матимуть симетрію по координаті y і їх розв'язки досить шукати лише упівпросторі y>0, на поверхні якого маємо такі мішані крайові умови
Відмінність цієї задачі від попередньої полягає в тому, що мішані крайові умови задані на двох координатнихповерхнях, =0 та =. Тому за схемою розв'язання ми отримаємо систему функціональних рівнянь Вінера-Хопфа. Зауважимо, що дана задача має симетрію відносно осі Oy (див. рис. 6). Для визначення особливості полянапружень в вершині розрізів, точці О, досить знайти парний відносно Oy розв'язок. В цьому випадку длярозв'язання системи функціональних рівнянь досить знайти розв'язок лише одного з рівнянь, бо вони будутьфункціонально залежними. Отриманий факт дозволив звести поставлену задачу до однорідної, нескінченної,квазіцілком регулярної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, нулі визначника якої є дійсними тапростими.
Отримані результати та аналіз однорідних розв'язків дають можливість встановити, що характер поведінкинормальних напружень поблизу точки О визначається асимптотичним співвідношенням, що має вид (14). При цьому поле напружень вточці О має локальну особливість, яка залежить кута 0 (рис 9). При 0=0, коли розрізи зникають, особливістьвідсутня ( =0). При збільшенні кута 0 від 0 до особливість посилюється. Якщо, то особливість ввершині розрізів є слабшою за класичну кореневу, що має місце на ребрах розрізів. При особливість співпадає зкласичною кореневою, а при поступово посилюється. Якщо 0~2, то відбувається стрибок до -1. Це пов'язано зтим, що у випадку 0=2 наше тіло вироджується у два півпростори, з'єднані нескінченно тонкою перемичкою, ірозгляд задачі в статичній постановці є неможливим. На основі отриманих результатів можна проаналізувати процесруйнування тіла, що має тріщину схожої геометрії. Якщо, то руйнування матеріалу почнеться в вершині і будепоширюватись від вершини симетрично в протилежних напрямках. При руйнування почнеться на ребрах, і цей процесбуде напрямлений в бік збільшення кута розхилу розрізів 0. При досягненні цим кутом величини подальшийпроцес руйнування залежить від розподілу коефіцієнту інтенсивності вздовж ребер розрізу.
Розглядаючи задачу про рівновагу пружного простору з розрізом по півплощині та клиноподібним розрізом (див.рис. 7), поверхню S слід записати у такому вигляді S={ 0, 0 - 0, =0} { 0, 0, = }, де 0= /2- 0, 0< 0< /2, 2 0 -кут розхилу клиноподібного розрізу.
Однорідні крайові умови (13) в даній задачі матимуть вид Оскільки дана задача має симетрію по координаті відносно = /2 (по координаті z) (див. рис. 7), то длявизначення характеру поведінки нормальних напружень в точці О досить знайти лише парні відносно = /2 однорідні розв'язкизадачі. Оскільки мішані крайові умови задані лише при =0, то, використовуючи запропоновану схемурозв'язання, задача зводиться до одного функціонального рівняння Вінера-Хопфа, а воно - до квазіцілкомрегулярної, однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Проаналізувавши властивості отриманоїнескінченної системи, маємо, що асимптотична поведінка нормальних напружень визначається співвідношенням,аналогічним (14). При цьому показник залежить від кута 0, і ця залежність представлена на рис.10. У випадку, коли 0=0, клиноподібний розріз зникає, і в просторі ми маємо лише розріз по пів-площині, наребрі якого має місце класична коренева особливість, що узгоджується з отриманими результатами. При 0< 0< /2особливість в точці O має степеневий характер, але ця особливість є сильнішою за кореневу, що має місце наребрах розрізів. З отриманих результатів бачимо, що при симетричному навантаженні руйнування матеріалу почнетьсясаме з точки O, бо в ній більше концентруються напруження.
В п'ятому розділі розглядається задача про рівновагу пружного півпростору з розрізом по чверті площини, реброякого перпендикулярне поверхні півпростору (рис. 11). В даній задачі вважається, що поверхня півпростору вільна відзусиль, а розріз знаходиться в умовах нормального відриву, тобто на його стінках виникають лише симетричнінормальні напруження, а дотичні - відсутні. Поставлена задача має симетрію відносно площини розрізу.Тоді, якщо півпростір займає область {x>0}, а розріз - поверхню S={y=0,x 0,z 0}, то розв'язок задачі досить шукати учверті простору ={x>0, y>0}, на поверхні якого задані мішані крайові умови е p(x,z) - відома, визначена на S функція. Зауважимо, що область має вид просторового клина з кутом розвороту/2.
Розв'язок отриманої мішаної задачі шукаємо у вигляді суперпозиції розв'язків для півпростору {x>0} тапівпростору {y>0}, що залишають їх поверхні вільними від дотичних зусиль
Дослідження особливості поведінки пружного поля при підході до точок ребра розрізу, і особливо при підході доточки виходу ребра на поверхню півпростору, здійснюється на основі однорідних розв'язків, для яких мають виконуватисьнульові крайові умови (15) та не ставиться умова регулярності на нескінченності. Для випадкунестисливого матеріалу (m=2) досить знайти лише функції 1,2, для побудови яких у сферичній системікоординат (,, ) застосовується схема із використанням розвинення по функціях на проміжку 0< < В результаті застосуванняцієї схеми побудова розв'язку задачі зводиться до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь,але коефіцієнти цієї системи, на відміну від попередніх задач, будуть комплексними. Аналіз отриманоїнескінченної системи дозволив встановити, що нулі її визначника дійсні та прості, а нормальні напруження воколі точки О поводять себе таким чином
С не залежить від. Бачимо, що напруження в цій точці матимуть локальну степеневу особливість, але ця особливістьслабша за класичну кореневу, яка має місце у внутрішніх точках ребра розрізу. З отриманого результатувидно, що напруження більше концентруються у внутрішніх точках ребра розрізу. Тому руйнування матеріалупочнеться саме в цих точках з поступовим виходом на вільну поверхню півпростору.
Побудовані однорідні розв'язки дають можливість встановити схему деформування вільної поверхні півпростору(x=0) поблизу точки О. При наближенні до ребер розрізу, що лежать на поверхні півпростору ( ~0+), компоненти векторазміщень мають вид
де A>0 - стала, що не залежить від та і визначається з умов конкретної задачі. Крім цього можна встановити, щопри наближенні до точок, які лежать на продовженні ребер розрізу ( ~ -0), деформації зникають як sin2, тобто ціточки, а як наслідок і точка О, залишаються нерухомими. Виходячи з отриманих результатів, можемо встановити, що воколі точки О (див. рис. 11) вільна поверхня півпростору матиме форму, що представлена на рис.12. В результатібачимо, що навколо точки О утворюється "воронка", яка спостерігається і на практиці. Механізм їїутворення пов'язаний з тим, що точки поверхні півпростору піднімаються вгору, а сама вершина "воронки" залишається нерухомою.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ
1. Вперше розроблена схема використання інтегрального перетворення типу Мелера-Фока по функціях на проміжку 0< < до побудови точних розв'язків мішаних крайових задач теорії потенціалу та теорії пружності для тіл з кутовимиточками, яка дозволяє послідовно звести розв'язок поставленої задачі до рівняння або системи рівняньВінера-Хопфа, а потім до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
2. На основі розробленої схеми вперше побудовані точні розв'язки двох задач теорії потенціалу для провідників,що мають форму симетрично зігнутої клиноподібної пластини та форму тригранного кута. Встановлено, що в кутових точкахрозглянутих провідників поверхнева густина зарядів має локальну особливість степеневого характеру, але цяособливість відрізняється від класичної особливості на ребрі провідника і залежить від геометричних параметрівцих провідників.
3. Вперше, використовуючи розроблену схему, розв'язані задачі про рівновагу пружного простору, послабленогоодним клиноподібним розрізом, "більшим" за півплощину, двома симетричними клиноподібними розрізами, що лежать в однійплощині і утворюють там вертикальні кути, та послабленого двома розрізами: розрізом по півплощині іклиноподібним розрізом, які лежать в одній площині. Базуючись на отриманих розв'язках, визначено, що напруження ввершинах розрізів мають степеневу особливість, відмінну від класичної кореневої, яка спостерігається на ребрах.Визначені залежності особливості від геометричних параметрів розрізів. Отримані залежності дозволили описатипроцес руйнування просторових тіл, які мають тріщини геометрії, схожої з розглянутими розрізами.
4. Розглянута нова задача про рівновагу пружного півпростору з розрізом по чверті площини, ребро якогоперпендикулярне вільній поверхні півпростору. На основі розглянутого інтегрального перетворення побудованийточний розв'язок задачі для нестисливого матеріалу. В цьому випадку встановлено, що в точці виходу ребрарозрізу на поверхню півпростору напруження мають степеневу особливість, яка слабша за класичну кореневу.Отриманий результат дозволив описати процес розповсюдження приповерхневої тріщини в пружному тілі. Крімцього теоретично обгрунтоване явище утворення "воронки" навколо точки виходу ребра розрізу при деформуванніпівпростору, яке спостерігалось на практиці.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Улітко А.Ф., Парфененко Д.М., Ловейкін А.В. Розподіл електростатичного поля на поверхні провідника у формізігнутої пластини // Вісник Київського університету. Сер.: фіз.-мат. науки. - 1997. - № 2. - С. 89-97.
2. Ловейкін А.В. Розподіл електростатичного поля на поверхні тригранного кута // Доповіді НАН України. - 1998. -№ 9. - С. 26-30.
3. Ловейкін А.В. Рівновага пружного півпростору, послабленого розрізом по чверті площини // Вісник Київськогоуніверситету. Математика. Механіка. - 1998. - № 2. - С. 55-63.
4. Улітко А.Ф., Ловейкін А.В. Рівновага пружного простору, послабленого плоским, клиноподібним в плані розрізом// Математичні методи та фізико-механічні поля. - 1999. - Т. 42, № 2. - С. 117-124.
5. Улітко А.Ф., Ловейкін А.В. Рівновага пружного простору, послабленого двома клиновидними в плані розрізами //Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій (випуск 2): В 3-х т. / Під ред. Панасюка В.В. - Львів:Каменяр, 1999. - Т. 2: Аналітичні методи в механіці руйнування матеріалів. - С. 229-233.
6. Улитко А.Ф., Ловейкин А.В. Равновесие упругого полупространства с разрезом по чет-вертьплоскости,перпендикулярной к его границе // Труды междунар. научн. конф. "Современные проблемы концентрациинапряжений". - Донецк: Донец. гос. ун-т., "Кассиопея". - 1998. - С. 236-241.

Ловейкін А.В. Розв'язок крайових задач теорії потенціалу та теорії пружності для тіл з кутовими точками. -Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 -механіка деформівного твердого тіла. - Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000.
Дисертація присвячена розробці математичних методів розв'язання та побудові точних математичних розв'язківмішаних крайових задач теорії потенціалу та теорії пружності для тіл з кутовими точками. Розроблена методика дозволяє наоснові інтегрального перетворення типу Мелера-Фока розв'язувати мішані крайові задачі теорії потенціалу вклиноподібних областях та теорії пружності для тіл з клиноподібними тріщинами. В межах цієї методики побудованіточні розв'язки задач теорії потенціалу для провідників, що мають форму симетрично зігнутої клиноподібноїпластини і тригранного кута, теорії пружності для простору, послабленого одним клиноподібним розрізом,двома симетричними клиноподібними розрізами, які лежать в одній площині та утворюють вертикальні кути, іпослабленого розрізом по півплощині та клиноподібним розрізом, що лежать в одній площині, та задача дляпівпростору з розрізом по чверті площини, ребро якого перпендикулярне поверхні. Визначені особливості отриманих розв'язків вкутових точках.
Ключові слова: напружено-деформований стан, мішана крайова задача, інтегральне перетворення, тріщина, кутоваточка, особливість.

Ловейкин А.В. Решение краевых задач теории потенциала и теории упругости для тел с угловыми точками. -Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по спе-циальности 01.02.04 -механика деформируемого твердого тела. - Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.
Диссертационная работа посвящена разработке математических методов и построению точных решений смешанныхзадач теории потенциала и теории упругости для тел с угловыми точками. Структурно работа состоит из вступления, пятиразделов основной части, выводов и списка используемой литературы.
Во вступлении обоснована актуальность проблемы, сформулирована цель исследований и их связь с научнымипрограммами.
Целью литературного обзора, которому посвящен первый раздел, было показать неполноту исследований врассматриваемой области, а также несовершенство математического аппарата, используемого в данной области.
Во втором разделе работы приводится теоретическая основа интегральных разложений Мелера-Фока по функциямЛежандра на разрезе, сделано обобщение существующих разложений на более широкий класс функций.
Третий раздел посвящен рассмотрению задач теории потенциала для проводников, которые имеют форму симметричносогнутой клиновидной пластины и трехгранного угла. На основе этих задач разработана схема применениярассмотренного интегрального преобразования к построению гармонических функций в клиновидных областях посмешанным краевым условиям. Представив решение данных задач в сферической системе координат в виде интегралов пофункциям Лежандра, на основе смешанных краевых условий получим уравнения Винера-Хопфа, которые в свою очередьсводятся к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Анализ полученных бесконечных системпозволил установить характер поведения электростатического поля вблизи угловых точек рассмотренныхпроводников. Полученные результаты позволили установить, что поверхностная плотность зарядов ввершинах проводников имеет локальную особенность степенного характера, показатель которой зависит от геометрическихпараметров проводников. Сравнение результатов роботы с известными в литературе указывает, что онисогласовываются. Это позволяет говорить о их достоверности.
В четвертом разделе рассматриваются три пространственные задачи теории упругости для пространства, котороеослаблено одним клиновидным разрезом, двумя симметричными клино-видными разрезами, которые лежат в одной плоскости и образуютвертикальные углы, и ослаб-ленного разрезом по полуплоскости и клиновидным разрезом, которые лежат в однойплоскости. Считая, что во всех трех случаях разрезы находятся в условиях нормального отрыва, задачи сво-дятсяк построению гармонических в полупространстве функций по смешанным краевым услови-ям на его поверхности. Применениепредложенной схемы позволило построить точные однород-ные решения этих задач и на их основе определитьособенности поведения упругого поля в окре-стностях угловых точек разрезов. Установлено, что в угловыхточках разрезов напряжения имеют степенные особенности, зависящие от геометрии разрезов. Полученныерезультаты позволили описать процесс разрушения упругих тел, которые имеют трещины похожей геометрии.
Пятый раздел работы посвящен рассмотрению задачи о равновесии упругого полупро-странства с разрезом почетверти плоскости, ребро которого перпендикулярно свободной поверх-ности полупространства. При условии, что разрезнаходится в условиях нормального отрыва, за-дача сводится к смешанной задаче теории упругости для четверти пространства(клина с углом /4). Используя метод суперпозиции, приходим к построению двух гармонических функций по смешанным краевымусловиям. Разработанная схема построения точных решений на основе пре-образования типа Мелера-Фока позволилапостроить точные однородные решения в случае не-сжимаемого материала. На основе этих решений установлено,что в точке выхода ребра разреза на свободную поверхность полупространства напряжения имеют степеннуюособенность, которая слабее классической корневой, имеющей место во внутренних точках разреза. Полученныйре-зультат дает возможность объяснить некоторые экспериментальные наблюдения.
Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, смешанная краевая задача, ин-тегральное преобразование,трещина, угловая точка, особенность.

Loveykin A.V. Solution of boundary value problems of potential theory and theory of elasticity for the solidswith corner points. - Manuscript.
The dissertation on competition of scientific degree of candidate of physics and mathematics science on aspecialty 01.02.04 - mechanics of deformed rigid solid. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2000.
The dissertation is devoted to development of mathematical methods of solution of mixed boun-dary valueproblems of potential theory and theory of elasticity for the solids with corner points and solv-ing some of these problems.The represented method makes possible to solve mixed boundary value problems of the potential theory in wedge-shapeddomains and problems of the theory of elasticity for the bodies with wedge-shaped cross-cuts using integraltransformations of Meler-Fok type. The analytic solu-tions of problems of the potential theory for thesymmetrically curved wedge-shaped plate and for the trihedral angle and the solutions of problems of the theoryof elasticity for the elastic space with one wedge-shaped cross-cut, two symmetric wedge-shaped cross-cuts,two cross-cuts: wedge-shaped cross-cut and cross-cut all along half-plane, and the solution of the problem forthe elastic half-space with cross-cut all along quarter-plane that edge is perpendicular to the half-planesurface had been built using this method. The singularities of these solutions near corner points of bodieshad been determined.
Key words: deflected mode, mixed boundary value problem, integral transformation, cross-cut, corner point,singularity.