Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова

ГРИГОРКІВ Василь Степанович

ОПТИМІЗАЦІЙНІ ДИНАМІЧНІ МОДЕЛІ
ЕКОЛОГО-ЕКОНОМІЧНОЇ РІВНОВАГИ

01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації  на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук

Київ 2000
Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор ЛЯШЕНКО Ігор Миколайович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри математичних методів еколого-економічних досліджень (ММЕЕД)

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, член-кореспондент НАН України ВЕЛИКИЙ Анатолій Павлович, Державний науково-дослідний інститут інформатизації і моделювання в економіці при Адміністрації Президента України та НАН України, директор,

доктор фізико-математичних наук, професор МИХАЛЕВИЧ Михайло Володимирович, Українська академія зовнішньої торгівлі, завідувач відділом,

доктор фізико-математичних наук, професор МАКАРЕНКО Олександр Сергійович, Інститут прикладного системного аналізу НАН України та Міносвіти і науки України, професор.

Провідна установа: Інститут космічних досліджень НАН України і НКА України, відділ моделювання динаміки процесів Землі і планет м.Київ.

Захист відбудеться 13 жовтня 2000 року о 11 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України за адресою: 03680 МСП Київ–187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий 9 вересня 2000 р.

 Учений секретар
спеціалізованої вченої ради                                                     СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дослідження.  У другій половині ХХ століття почалась інтеграція економічних і екологічних знань, їх кількісне та якісне зростання. Математична економіка, яка на той час досягла значних наукових висот, стала могутнім джерелом нових задач, які стимулювали розвиток методів оптимізації та інших розділів математики. Поряд з математичною економікою прогресивними темпами розвивалась математична екологія.
Проблеми виснаження невідтворюваних природних ресурсів, екологічні катастрофи, а також  результати наукових досліджень окремо економічних і екологічних процесів обумовили врешті-решт поступовий перехід до вивчення проблем екологічної економіки. Стало зрозумілим, що система ”природа-виробництво” повинна підкорятись таким критеріям розвитку, які б відображали як економічні (орієнтовані на співвимірювання витрат праці), так і екологічні (орієнтовані на збереження цілісності природи) інтереси,  а взаємодія людського суспільства і природного середовища повинна вивчатись в рамках єдиної еколого-економічної системи. Складність врахування екологічної складової при побудові концепції економічного розвитку та потреба розглядати цілісні еколого-економічні системи привели науковців до математичного моделювання та оптимізації як найбільш могутніх і ефективних засобів дослідження еколого-економічних систем.
Ці засоби були створені значною мірою завдяки фундаментальним працям Ж.Л.Лагранжа, Р.Беллмана, Л.С.Понтрягіна, Л.В.Канторовича, М.М.Красовського, А.М.Колмогорова, М.М.Мойсеєва, А.Я.Дубовицького, О.О.Мілютіна, Е.Г.Гольштейна, Ф.П.Васильєва, В.Ф.Кротова, Р.Ф.Габасова, Ю.П.Іванілова, О.О.Петрова, П.С.Краснощокова та таких відомих українських учених, як В.М. Глушков, В.С. Михалевич, Б.М. Пшеничний, Н.З. Шор, Ю.М. Єрмольєв, І.В. Сергієнко, В.М. Кунцевич, Б.М. Бублик, А.О. Чикрій, І.М. Ляшенко, М.Ф. Кириченко, О.Г. Наконечний, Ф.Г. Гаращенко, І.В. Бейко, А.П.Великий, М.В. Михалевич, В.В. Остапенко, О.С.Макаренко, М.З. Згуровський, В.В. Скопецький, В.С. Дейнека та інші.
Головною ознакою цілісних еколого-економічних систем є керованість, тобто наявність мети і критерію розвитку. Тому вони відносяться до складу кібернетичних систем – систем, якими можна керувати за допомогою деяких вільних екзогенних змінних. Серед існуючих на сьогоднішній день моделей еколого-економічних систем розрізняють балансові, оптимізаційні та імітаційні моделі. Класичним представником балансових моделей є, наприклад, модель Леонтьєва–Форда. До оптимізаційних належить, зокрема, модель ”оптимального збирання врожаю” (оптимальної експлуатації природних ресурсів) Моно-Ієрусалимського. Славнозвісний проект Дж.Форрестера, в якому аналізується взаємодія трьох систем: демографічної, індустріальної та аграрної, належить до імітаційних моделей. Ідея цього проекту полягає в збереженні рівноваги між суспільством і природою в глобальному масштабі.
Ця ідея була провідною на Конференції ООН з навколишнього середовища і розвитку (1992 р.), на якій керівники 179 країн світу, включаючи Україну, спільно виробили всесвітню програму дій під назвою ”Порядок дня на XXI століття”. Основу програми склали 27 принципів, що регламентують раціональну поведінку людства на шляху переходу на збалансований в економічному, екологічному та соціальному сенсі спосіб життя. Такий спосіб передбачає самовідтворюваний розвиток економіки та економічне зростання в межах допустимих можливостей природного середовища. Цей розвиток був названим сталим (стійким, самовідтворюваним).
Збалансований в динаміці еколого-економічний процес суспільного розвитку (процес сталого розвитку) став надзвичайно важливим об'єктом, дослідження якого належить до пріоритетних напрямів наукової діяльності, зокрема математичного моделювання.
Актуальність теми випливає із сформульованої коротко концепції сталого розвитку, фундаментальні основи якого на сьогоднішній день знаходяться ще в початковій стадії наукових розробок. Очевидним є той факт, що обійтися тут без математичних досліджень не можна, адже абстрагування від реальних еколого-економічних систем до їх математичних моделей і, навпаки, перехід від якісного аналізу моделей до висновків про реальні еколого-економічні системи – один із найбільш ефективних методів вивчення подібної проблеми.
Таким чином, основним об'єктом досліджень даної дисертаційної роботи є динамічний процес – сталий (збалансований, рівноважний) розвиток еколого-економічних систем.
Зв'язок роботи з науковими темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі математичних методів еколого-економічних досліджень (ММЕЕД) факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка і є частиною досліджень наукової держбюджетної теми ”97067 – математичне моделювання та алгоритми розв'язування задач оптимізації еколого-економічних систем” (номер держреєстрації – 0197U003334).
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методології дослідження умов оптимальної рівноважної (магістральної) динаміки еколого-економічних систем шляхом створення нових засобів побудови і аналізу відповідних математичних моделей.
Для досягнення цієї мети у дисертації поставлені такі наукові завдання:
1. Розвинути структурний (оптимізаційний) підхід для побудови математичних моделей виробничих функцій, що є окремими моделями виробничих процесів або елементами більш складних моделей економічних та еколого-економічних систем; розробити методи побудови цих функцій у явному аналітичному вигляді.
2. Виходячи з актуальності збалансованого розвитку економіки за наявністю екологічних обмежень, розробити моделі оптимального еколого-економічного росту для агрегованої та багатосекторної  еколого-економічних систем та встановити на їх основі достатні умови існування магістральних (оптимальних рівноважних) траєкторій росту та оптимальних траєкторій росту магістрального типу (траєкторій, одна ланка яких є магістраллю), що разом  з оптимальним керуванням складають оптимальний процес магістрального типу.
3. Дослідити умови збалансованого експоненційного та оптимального економічного росту за допомогою агрегованих динамічних моделей еколого-економічної рівноваги.
4. Розвинути методику оптимізації еколого-економічних систем з використанням лінійних та нелінійних динамічних моделей Леонтьєва-Форда в умовах екологічної рівноваги.
Наукова новизна одержаних результатів дисертації полягає:
У створенні методології математичного моделювання рівноважних динамічних процесів, що характеризують агрегований розвиток складних динамічних систем (економічних, еколого-економічних, технологічних, біотехнологічних та ін.) та знаходженні оптимальних рівноважних станів їх функціонування (магістральних траєкторій).
У розробці методу побудови в явній аналітичній формі математичних моделей виробничих функцій максимального випуску (ВФМВ) як функцій значень задачі лінійного програмування та встановленні їх властивостей.
У застосуванні негладких виробничих функцій в одно– та багатосекторних моделях економічного росту та побудові оптимальних програм і траєкторій росту для таких моделей.
У розвитку достатніх умов оптимальності для деяких випадків загальної негладкої задачі оптимального керування.
У розвитку неокласичних моделей економічного росту при побудові та дослідженні моделей росту в умовах еколого-економічної рівноваги.
У побудові нових агрегованих та багатосекторних оптимізаційних динамічних моделей еколого-економічних систем та їх математичному аналізі.
У розробці оптимізаційних лінійних та нелінійних моделей еколого-економічного міжгалузевого балансу.
Практична значимість одержаних результатів. Робота має як теоретичний, так і прикладний характер. Її результати і методика досліджень є конструктивними, тому можуть ефективно використовуватись при практичному розв'язуванні задач з прийняття еколого-економічних чи технологічних рішень. Зокрема, метод побудови моделей ВФМВ може застосовуватись в теорії виробництва, споживання та корисності для побудови відповідних моделей  функцій затрат, споживання та корисності, а також в задачах прогнозування технологічних, економічних та еколого-економічних показників, якщо відомі технологія, ресурсні обмеження і функція мети.
Запропоновані в роботі економічні та еколого-економічні моделі є новим математичним інструментарієм для дослідження реальних процесів еколого-економічної взаємодії та агрегованої динаміки складних технологічних процесів, зокрема в біотехнології.
Всі результати роботи можуть бути використані в науково-методичному та навчальному процесі.
Апробація результатів дисертації. Результати, які викладені в дисертації, доповідались на таких конференціях і семінарах: на VII Всесоюзній науково-технічній конференції ”Проблемы, задачи и опыт применения технологии разработки и внедрения программных средств АСУТП” (Чернівці, 1990р.), на науково-технічній конференції ”Проблемы экологии и ресурсосбережения ”Экоресурс–1” (Чернівці, 1991р.), на міжнародній конференції ”Теория приближения и задачи вычислительной математики” (Дніпропетровськ, 1993р.), на міжнародній науковій конференції ”Навколишнє середовище і здоров'я” (Чернівці, 1993р.), на міжнародній науково-практичній конференції ”Механизмы управления в свободных экономических зонах” (Чернівці, 1993р.), на науковій конференції викладачів, співробітників та студентів, присвяченої 120-річчю заснування Чернівецького університету (Чернівці, 1995р.), на 6-й та 7-й міжнародних конференціях ім. академіка М.Кравчука (Київ, 1997–1998рр.), на міжнародній науковій конференції ”Сучасні проблеми математики” (Чернівці, 1998р.), на міжнародній науковій конференції ”Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation” (Київ, 1999р.), на наукових семінарах математичного факультету Чернівецького державного університету ім.Ю.Федьковича (Чернівці, 1988–2000р.), факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 1998–2000рр.), Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України (Київ, 2000р.).
Публікації. За темою дисертації опубліковано 36 наукових робіт. З них – 26 статей у наукових виданнях (журналах і збірниках наукових праць), 4 доповіді в матеріалах та 6 тез доповідей міжнародних та національних наукових конференцій.
Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи одержані особисто або за особистою участю автора. У працях та доповідях, що написані у співавторстві, дисертанту належать:
у [2] – алгоритм побудови оптимальної програми та траєкторії економічного росту у випадку кусково-лінійних виробничих функцій;
у [5] – дослідження динаміки багатосекторної економіки із заданою структурою капіталовкладень на основі запропонованої моделі з кусково-лінійними виробничими функціями;
у [10] – аналіз моделі та розробка алгоритму знаходження оптимальної траєкторії багатосекторної еколого-економічної системи;
у [21] – встановлення умов існування режиму збалансованого експоненційного росту в динамічній моделі еколого-економічної рівноваги;
у [22] – дослідження оптимізаційної еколого-економічної задачі, необхідні та достатні умови існування і оптимальності розв'язку дискретного аналогу задачі;
у [23] – алгоритм побудови загальних розв'язків термінальної задачі керування для лінійної динамічної моделі Леонтьєва–Форда та постановки оптимізаційних задач на множинах термінальних керувань;
у [24] – запропонований метод побудови математичних моделей макровиробничих функцій, формулювання та доведення основних теорем;
у [26] – обгрунтування оптимізаційного (структурного) підходу до математичного моделювання виробничих функцій, формалізація задачі математичного програмування  як моделі виробничої функції;
у [32] – постановка та математичне обгрунтування задачі.
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів та списку використаних джерел, що містить 194 найменування. Повний обсяг роботи становить 296 сторінок, з них 273 сторінки основного змісту та 23 сторінки використаних джерел.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

1. Розроблено концепцiю математичного моделювання рiвноважних динамiчних процесiв, що характеризують агрегований розвиток складних динамiчних систем (економiчних, еколого-економiчних, технологiчних, бiотехнологiчних та iнших). Запропоновано методологiю дослiдження та знаходження стацiонарних оптимальних рiвноважних станiв таких систем.
2. Розвинуто оптимiзацiйний пiдхiд в математичному моделюваннi виробничих функцiй (функцiй випуску, затрат, корисностi та iн.). Розроблено метод побудови в явнiй аналiтичнiй формi моделей виробничих функцiй максимального випуску, якi є залежностями максимальних значень цiльової функцiї задачi лiнiйного програмування (оптимального планування виробництва) вiд вектора обмежень (наявних ресурсiв). У випадку угнутої (або опуклої) задачi сепарабельного програмування запропоновано алгоритми побудови наближених виробничих функцiй максимального випуску.
3. Створено комплекс математичних моделей економiчного росту, що доповнюють та розвивають неокласичнi моделi росту. Це – агрегована та багатосекторнi моделi у випадку незалежних секторiв та вiдомої структури взаємних капiталовкладень з кусково-лiнiйними виробничими функцiями, агрегованi та багатосекторнi моделi еколого-економiчних та технологiчних систем.
4. Встановлено достатнi умови оптимальностi допустимого процесу в  негладкiй задачi оптимального керування, що узагальнюють вiдомi результати для гладкої задачi.
5. Дослiджено агреговану динамiчну модель еколого-економiчної рiвноваги, в якiй ступiнь забруднення довкiлля та питоме споживання є стабiльними (сталими) величинами. Отримано необхiднi та достатнi умови iснування збалансованого експоненцiйного зростання економiки в умовах еколого-економiчної рiвноваги.
6. Запропоновано та дослiджено оптимiзацiйну модель економiчного росту в умовах екологiчної рiвноваги (стан забруднення є сталою величиною). Одержано достатнi умови оптимальностi процесу магiстрального типу для цiєї моделi.
7. На основi агрегованих моделей оптимального розподiлу iнвестицiй в еколого-економiчнiй системi вивчена динамiка оптимального iнвестицiйного процесу. Моделюється розподiл iнвестицiй також в багатосекторнiй еколого-економiчнiй системi, в якiй всi взаємно незалежнi галузi економiки iнвестують галузь допомiжного виробництва (знищення забруднювачiв).
8. З використанням лiнiйної динамiчної моделi мiжгалузевого еколого-економiчного балансу iз сталою та змiнною технологiєю основного та допомiжного виробництва (динамiчної моделi Леонтьєва-Форда)  розроблено новi оптимiзацiйнi динамiчнi моделi неперервного i дискретного типу. Для моделей дискретного типу одержано умови iснування та оптимальностi їх розв'язкiв.
9. Вивчено термiнальнi задачi керування для лiнiйної динамiчної моделi Леонтьєва-Форда. Побудовано множини загальних розв'язкiв цих задач. На множинах термiнальних керувань здiйснено постановки вiдповiдних оптимiзацiйних задач.
10. Побудовано нову оптимiзацiйну модель з нелiнiйним динамiчним еколого-економiчним мiжгалузевим балансом. Для дискретного варiанта моделi запропоновано алгоритми розв'язання вiдповiдної задачi.
Основні положення дисертації опубліковані в таких працях:

1. Григоркiв В.С. Моделювання сiткових макровиробничих функцiй багатьох змiнних // Доп. НАН України.– 1997.– N9.– C.14–17.
2. Ляшенко I.М., Григоркiв В.С. Моделювання економiчного росту у випадку кусково-лiнiйних макровиробничих функцiй // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки.– 1997.– Вип.4.– C.155–161.
3. Григоркiв В.С. Моделювання оптимального контролю над забрудненням довкiлля // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки.– 1998.– Вип.1.– C.155–163.
4. Григоркiв В.С. Про одну модель багатосекторної економiки // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь.– К.: Iн-т мат. НАН України, 1998.– Вип.2.– С.95–105.
5. Ляшенко И.Н., Григоркив В.С. Моделирование динамики многосекторной экономики с кусочно-линейными производственными функциями // Кибернетика и системный анализ.– 1998.– N3.– C.156-162.
6. Григоркiв В.С. Оптимальне iнвестування еколого-економiчної системи // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки.– 1998.– Вип.3.– C.169–174.
7. Григоркiв В.С. Моделювання оптимальної траєкторiї забруднення при заданому ростi капiталу // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь.– К.: Iн-т мат. НАН України, 1998.– Вип.3.– С.48–54.
8. Григоркiв В.С. Моделювання та оптимiзацiя динамiки двохсекторної економiки // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки.– 1998.– Вип.4.– C.122–132.
9. Григоркiв В.С. Про моделювання оптимального росту однопродуктової макроекономiки // Наук. вiсн. Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. праць. Математика.– Чернiвцi: ЧДУ, 1999.– Вип. 46.– С.25–28.
10. Григоркив В.С., Ляшенко И.Н. Об оптимальной траектории многосекторной эколого-экономической системы // Проблемы управления и информатики.– 1999.– N1.– С.113–123.
11. Григоркiв В.С. Побудова виробничих функцiй з сепарабельними залежностями доходу та затрат ресурсiв // Вiсн. Київськ. ун–ту. Сер., Фiзико-математичнi науки.– 1999.– Вип.1.– C.184–190.
12. Григоркив В.С. Моделирование многосекторной эколого-экономической системы // Кибернетика и системный анализ.– 1999.– N3.– C.147–157.
13. Григоркiв В.С. Оптимiзацiя економiки в умовах динамiчної екологiчної рiвноваги // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки.– 1999.– Вип.2.– C.218–227.
14. Григоркив В.С. Агрегированная модель оптимизации экономики с эколого-экономическим критерием // Кибернетика и системный анализ.– 1999.– N4.– C.124-133.
15. Григоркив В.С. Построение производственных функций при заданных линейных технологиях // Проблемы управления и информатики.– 1999.– N5.– С.145–150.
16. Григоркив В.С. Обобщенные линейно однородные производственные функции // Кибернетика и системный анализ.– 1999.– N5.– C.124-132.
17. Григоркiв В.С. Оптимiзацiйна динамiчна мiжгалузева модель еколого-економiчного розвитку з квадратичною функцiєю корисностi кiнцевої продукцiї // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки.– 1999.– Вип.3.– С.192–199.
18. Григоркiв В.С. Оптимiзацiя еколого-економiчної системи з квадратичною функцiєю корисностi кiнцевої продукцiї на основi динамiчної моделi Леонтьєва-Форда iз змiнною технологiєю основного та допомiжного виробництва // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки.– 1999.– Вип.4.– С.127–133.
19. Григоркiв В.С. Оптимiзацiйна модель з нелiнiйним динамiчним еколого-економiчним мiжгалузевим балансом // Волинський мат. вiсн.– 1999.– Вип.6.– C.47–52.
20. Григоркiв В.С. Оптимiзацiйна динамiчна модель Леонтьєва-Форда iз змiнною технологiєю основного та допомiжного виробництва // Наук. вiсн. Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. праць. Математика.– Чернiвцi: Рута, 2000.– Вип. 76.– С.17–22.
21. Ляшенко I.М., Григоркiв В.С. Динамiчна модель еколого-економiчної рiвноваги // Доп. НАН України.– 2000.– N2.– C.79–84.
22. Григоркив В.С., Ляшенко И.Н. Оптимизационная динамическая модель Леонтьева-Форда в условиях экологического равновесия // Кибернетика и системный анализ.– 2000.– N2.– C.73–79.
23. Григоркив В.С., Ляшенко И.Н. Построение общих решений терминальной задачи управления для линейной динамической модели Леонтьева-Форда // Проблемы управления и информатики.– 2000.– N2.– С.131–140.
24. Григоркив В.С., Зоидов К.Х. К вопросу о построении производственной поверхности с заданными свойствами формы // Докл. АН Тадж. ССР.– 1988.– Т.31, N 12.– c.782–786.
25. Григоркiв В.С. Сплайновi моделi макровиробничих функцiй багатьох змiнних // Автоматизацiя виробничих процесiв.– 1997.– N2.– C.34–38.
26. Ляшенко I.М., Григоркiв В.С. До вдосконалення методiв побудови виробничих функцiй // Економiка України.– 1998.– N10.– C.83–85.
27. Григоркив В.С. Моделирование производственных соотношений: задачи, алгоритмы, программы // Тез. докл. VII Всесоюз. науч.-техн. конф. "Проблемы, задачи и опыт применения технологии разработки и внедрения программных средств АСУ ТП".– Черновцы, 1990.– С.86.
28. Григоркив В.С. Математическое моделирование эколого-экономических процессов производства // Тез. докл. науч.-техн. конф."Проблемы экологии и ресурсосбережения "Экоресурс-1".– Черновцы – 1991.– C.9–10.
29. Григоркив В.С. Аппроксимация производственных функций // Тез. Мiжнар. конф. "Теория приближения и задачи вычислительной математики".–Днiпропетровськ: Вид-во ДДУ, 1993.- С.62.
30. Григоркiв В.С. До проблеми математичного моделювання еколого-економiчної системи регiону // Тез. доп. Мiжнар. наук. конф. "Навколишнє середовище i здоров'я".– Чернiвцi, 1993.– С.269.
31. Григоркив В.С. Моделирование оптимального роста производства в условиях свободной экономической зоны // Тез. докл. Междунар. науч.-практической конф. "Механизмы управления в свободных экономических зонах". Ч.II.– Черновцы, 1993.– С.45–47.
32. Григоркiв В.С., Сторощук Б.Д. Побудова i дослiдження математичних моделей макроекономiки // Матерiали наук. конф. викладачiв, спiвробiтникiв та студентiв, присвяченої 120–рiччю заснування Чернiвецького ун–ту (4–6 травня 1995 р.). Фiзико-математичнi науки.– Чернiвцi: Рута, 1995.– Т.2.– С.84.
33. Григоркiв В.С. Клас однорiдних сiткових макровиробничих функцiй багатьох змiнних // Матерiали 6-ї Мiжнар. наук. конф. iм. академiка М.Кравчука.– К.: – 1997.– С.121.
34. Григоркiв В.С. Моделювання та оптимiзацiя динамiки багатосекторної економiки // Матерiали 7-ї Мiжнар. наук. конф. iм. академiка М.Кравчука.– К.: – 1998.– С.126.
35. Григоркiв В.С. Моделювання та оптимiзацiя динамiки еколого-економiчної взаємодiї // Сучаснi проблеми математики: Матерiали Мiжнар. наук. конф. Ч.1.– К.: Iн-т мат. НАН України, 1998.– С.160–162.
36. Grigorkiv V.S. Algorithms of a construction of the production functions at specific industrial processes engineering // International Conference "Dynamical systems modelling and stability investigation". Systems Modelling. Kyiv (Ukraine).– Kyiv, 25–29 May, 1999.– P.80.

Григорків В.С. Оптимізаційні динамічні моделі еколого-економічної рівноваги.– Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи.– Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України, Київ, 2000.
Розроблена концепція математичного моделювання рівноважних динамічних процесів, що характеризують агрегований розвиток складних динамічних систем (економічних, еколого-економічних, технологічних, біотехнологічних тощо).
На основі оптимізаційного (структурного) підходу досліджені математичні моделі виробничих функцій максимального випуску і розроблений метод їх побудови у випадку лінійних задач оптимального планування.
Вивчені моделі оптимального економічного росту одно– і багатосекторної економіки з кусково–лінійними виробничими функціями. Запропонована модель багатосекторної економіки з відомою структурою взаємних капіталовкладень.
Встановлені достатні умови оптимальності в загальній негладкій задачі оптимального керування, які узагальнюють аналогічні результати для гладкої задачі оптимального керування.
Запропонований комплекс математичних моделей економічного росту, що доповнюють та розвивають неокласичні моделі росту. Це – агреговані моделі динамічної еколого-економічної рівноваги, оптимізації економіки в умовах динамічної еколого-економічної рівноваги, оптимізації економіки з еколого-економічним критерієм розвитку, оптимального розподілу інвестицій в еколого-економічній системі, а також оптимізаційна модель багатосекторної еколого-економічної системи.
Дістала  подальший розвиток теорія і методика оптимізації еколого-економічних систем, що базується на використанні моделей динамічного міжгалузевого еколого-економічного балансу.
Ключові слова: еколого-економічна система, математична модель, оптимальне керування, магістраль, еколого-економічна рівновага, міжгалузевий еколого-економічний баланс.

Grigorkiv V.S. Optimization dynamical models of ecological-economic balance.–  Manuscript.
Thesis doctor of physics and mathematics on a speciality 01.05.02 – mathematical modelling and computing methods.- Glushkov Institute of cybernetics  of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2000.
The conception of mathematical modeling of balanced dynamical processes, which are characterized the aggregated development of complex dynamic systems (economic, ecological-economic, technological, biotechnological etc.) is developed.
The production functions of maximum output are investigated with the help of optimization (structural) approach and the method of a construction of such production functions is constructed for case of linear problems of optimal planning.
The models of optimal economical growth of one- and multi-sector economics with piece-linear production functions are investigated. The model of multi-sector economics with known structure of mutual capital investments is proposed.
The sufficient conditions of optimality for general non-smooth problem of optimal control are established. These conditions generalize analogous results for smooth problem of optimal control.
The complex of mathematical models of economic growth is proposed. These models are expanded and developed the neoclassical models of growth. There are  the aggregated models of dynamical ecological-economic balance, economic optimization with the conditions of dynamical ecological-economic balance, economics optimization with ecological-economic criterion of development, optimal distribution of investments in ecological-economic system and optimization model of multi-sector ecological-economic system.
The theory and technique of optimization of ecological-economic systems, which are based on use of models of dynamic interbranch ecological-economic balance, has received further development.
Keywords: ecological-economic system, mathematical model, optimum control, turnpike, ecological–economic balance, interbranch ecological-economic balance.

Григоркив В.С. Оптимизационные динамические модели эколого-экономического равновесия.– Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы.– Институт кибернетики имени В.М.Глушкова НАН Украины, Киев, 2000.
В диссертационной работе развивается актуальное направление эколого-экономического моделирования, вытекающее из концепции устойчивого развития экономики, согласованного с ограниченными ресурсами биосферы.
Разработана концепция математического моделирования равновесных динамических процессов, характеризующих агрегированное развитие сложных динамических систем (экономических, эколого-экономических, технологических, биотехнологических и т.д.).
Моделирование производственных процессов осуществляется с помощью производственных функций, которые составляют не только отдельный интерес, но и являются элементами значительно более сложных моделей экономических и эколого-экономических систем. Предлагается оптимизационный (структурный) подход к построению производственных функций.  Исследованы производственные функции максимального выпуска, являющиеся зависимостями максимального результата производства от затрат ресурсов и описываемые неявно вогнутой задачей оптимального планирования (программирования). Разработан метод построения таких производственных функций в явном аналитическом виде для случая линейных зависимостей дохода и затрат ресурсов от выпуска. Предложен алгоритм построения приближенных производственных функций максимального выпуска в случае сепарабельных зависимостей дохода и затрат ресурсов от выпуска. Проанализированы возможности построения параметрических, векторных и динамических производственных функций максимального выпуска.
Изучены модели оптимального экономического роста одно– и многосекторной экономики в случае кусочно–линейных производственных функций, использование которых позволяет упростить представление оптимальной траектории роста в явном аналитическом виде. Предложена и исследована на предмет существования оптимальной траектории магистрального типа (траектории, одно из звеньев которой является магистралью, т.е. оптимальной равновесной траекторией) новая модель многосекторной экономики в случае известной структуры взаимных капиталовложений.
Установлены достаточные условия оптимальности в общей негладкой задаче оптимального управления, которые обобщают аналогичные результаты для соответствующей гладкой задачи оптимального управления.
Разработаны и исследованы агрегированные математические модели динамического эколого-экономического равновесия, оптимизации экономики в условиях динамического экологического равновесия, оптимизации экономики в случае известного эколого-экономического критерия развития, оптимального распределения инвестиций в эколого–экономической системе. Данные модели формализуют на макроуровне некоторые сценарии развития эколого-экономической системы с равновесной (в смысле устойчивого развития) динамикой. Их качественный анализ представляет определенную ценность при принятии решений по управлению таких сложных систем как эколого-экономическая.
В дополнение к агрегированным предложена и изучена также оптимизационная модель многосекторной эколого-экономической системы, состоящей из произвольного конечного количества независимых секторов экономики, каждый из которых инвестирует вспомогательный сектор по уничтожению загрязнителей.
Получила дальнейшее развитие теория и методика оптимизации эколого–экономических систем, которые базируются на использовании моделей динамического межотраслевого эколого–экономического баланса. Опираясь на линейные динамические модели Леонтьева–Форда с постоянной и переменной технологией основного и вспомогательного производства, разработаны соответствующие варианты оптимизационных моделей, учитывающих необратимость капиталовложений в производство продукции и борьбу с загрязнением. Приведены и исследованы терминальные задачи управления для линейных динамических моделей Леонтьева–Форда, а также новые оптимизационные задачи на множествах терминальных управлений. Предложена оптимизационная модель с нелинейным динамическим эколого-экономическим межотраслевым балансом, а также алгоритмы решения задачи, формализующей эту модель.
Ключевые слова: эколого-экономическая система, математическая модель, оптимальное управление, магистраль, эколого-экономическое равновесие, межотраслевой эколого-экономический баланс.